Problema — Stima di Fermi, misure di g

Testo

Stima, con un ragionamento di Fermi, quante misurazioni indipendenti della costante di gravità $g$ si potrebbero fare in un’ora di laboratorio in una classe di $25$ studenti, usando il metodo della pallina rimbalzante. Quale sarebbe un’incertezza plausibile sul valor medio finale?

Soluzione

Impostazione di Fermi. Non servono dati precisi: bastano ordini di grandezza ragionevoli, combinati con buon senso.

Tempo per una singola misura. Ogni misura richiede: preparare e rilasciare la pallina, cronometrare il rimbalzo (o misurare le altezze), annotare e fare il calcolo. Stimiamo dell’ordine di qualche minuto per misura, diciamo $\sim 10$–$15$ min all’inizio ma che scende a pochi minuti con la pratica. Assumiamo mediamente $\sim 12$ min $\to$ in $60$ min ogni studente riesce a fare circa $4$–$5$ misure.

Numero totale di misure. Con $25$ studenti che lavorano in parallelo: $N \approx 25 \times 4\text{–}5 \approx 100\text{–}125 \approx 10^2 \text{ misure}$

Incertezza sul valor medio. Una singola misura casalinga di $g$ col rimbalzo è grossolana: incertezza relativa dell’ordine del $10$–$20\%$ (tempi di reazione, altezze mal lette, attrito dell’aria). Facendo la media di $N \approx 100$ misure indipendenti, l’errore casuale sulla media si riduce del fattore $\sqrt{N}$: $\frac{\sigma_{\bar{x}}}{\bar{x}} \approx \frac{10\text{–}20\%}{\sqrt{100}} = \frac{10\text{–}20\%}{10} \approx 1\text{–}2\%$

Avvertenza. Questa riduzione vale solo per la parte casuale dell’errore. Se tutte le misure condividono lo stesso errore sistematico (per esempio un metro starato), mediare non aiuta: il limite di $\sim 1$–$2\%$ è ottimistico e presuppone che i sistematici siano tenuti sotto controllo.

$\ev{N \sim 10^2 \text{ misure} \qquad \dfrac{\sigma_{\bar{x}}}{\bar{x}} \sim 1\text{–}2\%}$

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