Dimostrazione dell'equazione senza tempo

Testo

Partendo dalle leggi del moto uniformemente accelerato $s(t) = s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2$ e $v(t) = v_0 + a t$, dimostra la relazione indipendente dal tempo $v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s$. Mostra esplicitamente i passaggi.

Soluzione

Strategia. L’idea è eliminare il tempo $t$ fra le due leggi del moto, in modo da ottenere una relazione che leghi direttamente velocità e spostamento.

Passo 1 — Ricaviamo il tempo dalla legge della velocità. Dalla relazione $v = v_0 + a t$, isolando $t$ (supponendo $a \neq 0$):

$t = \frac{v - v_0}{a}$

Passo 2 — Esprimiamo lo spostamento. Indichiamo con $\Delta s = s - s_0$ lo spostamento; dalla legge oraria:

$\Delta s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2$

Passo 3 — Sostituiamo il tempo. Inseriamo l’espressione di $t$ trovata al passo 1:

$\Delta s = v_0 \cdot \frac{v - v_0}{a} + \tfrac{1}{2} a \left(\frac{v - v_0}{a}\right)^2 = \frac{v_0(v - v_0)}{a} + \frac{(v - v_0)^2}{2a}$

Passo 4 — Sviluppiamo e semplifichiamo. Riduciamo a denominatore comune $2a$ e sviluppiamo i quadrati:

$\Delta s = \frac{2v_0 v - 2v_0^2 + v^2 - 2 v_0 v + v_0^2}{2a} = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

Passo 5 — Isoliamo $v^2$. Moltiplicando ambo i membri per $2a$:

$2a\,\Delta s = v^2 - v_0^2$

da cui la relazione cercata, indipendente dal tempo:

$\ev{v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta s}$

Questa formula è particolarmente utile quando il tempo non è noto né richiesto, ad esempio nel calcolo di distanze di arresto o di altezze massime.

Collegamenti

Argomenti: Cinematica Concetti: Moto uniformemente accelerato Competenze: Impostazione simbolica