Distanza dall'area del grafico v-t

Testo

Il grafico in figura mostra la velocità di un’auto in funzione del tempo. Determina la distanza percorsa nei primi $9\;\text{s}$ calcolando l’area sotto la curva.

Soluzione

Idea chiave. In un grafico velocità-tempo lo spazio percorso è numericamente uguale all’area compresa tra la curva e l’asse dei tempi. Basta quindi calcolare l’area della regione colorata.

Lettura del grafico. La velocità parte da $0$, cresce linearmente fino a $6\;\text{m/s}$ all’istante $t = 3\;\text{s}$, resta costante a $6\;\text{m/s}$ fino a $t = 6\;\text{s}$, poi decresce linearmente tornando a $0$ in $t = 9\;\text{s}$. La figura è un trapezio.

Metodo 1 — scomposizione in figure elementari. Un triangolo di salita, un rettangolo centrale e un triangolo di discesa:

$d = \underbrace{\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 6}_{9} + \underbrace{3\cdot 6}_{18} + \underbrace{\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 6}_{9} = 36\;\text{m}$

Metodo 2 — area del trapezio. Base maggiore $B = 9\;\text{s}$, base minore $b = 3\;\text{s}$ (il tratto a velocità costante), altezza $h = 6\;\text{m/s}$:

$d = \frac{(B + b)}{2}\, h = \frac{(9 + 3)}{2}\cdot 6 = 36\;\text{m}$

I due metodi coincidono, come deve essere.

$\ev{d = 36\;\mathrm{m}}$

Nota: la velocità media sull’intero intervallo è $\bar v = d/\Delta t = 36/9 = 4\;\text{m/s}$, cioè l’altezza del rettangolo di pari area e base $9\;\text{s}$.

Collegamenti

Argomenti: Cinematica Concetti: Velocità media Competenze: Lettura dei grafici