Massa su piano liscio

Testo

Un blocco di $3\;\text{kg}$ scivola su un piano inclinato a $30^\circ$ senza attrito. Trovare l’accelerazione e la reazione vincolare.

Soluzione

Dati. $m = 3\;\text{kg}$, $\theta = 30^\circ$, piano liscio ($\mu = 0$).

Modulo del peso. $\abs{\vec{P}} = mg = 3 \cdot 9{,}81 = 29{,}43\;\text{N}$

Scelta degli assi e diagramma di corpo libero. Prendo l’asse $x$ lungo il piano (positivo verso l’alto) e l’asse $y$ perpendicolare al piano. Sul blocco agiscono solo il peso $\vec{P}$ e la reazione vincolare $\vec{R}$ (normale al piano, non c’è attrito). Il peso ha componenti $-mg\sin\theta$ lungo $x$ e $-mg\cos\theta$ lungo $y$.

Seconda legge di Newton ($\vec{P} + \vec{R} = m\vec{a}$), proiettata sui due assi: $\begin{cases} -mg\sin30^\circ + 0 = m\,a \\ -mg\cos30^\circ + R = 0 \end{cases}$

Accelerazione (dalla prima equazione la massa si semplifica): $a = -g\sin30^\circ = -9{,}81 \cdot 0{,}5 = -4{,}9\;\text{m/s}^2$ Il segno negativo indica che il blocco accelera verso il basso (verso $x$ negativo), cioè scivola in discesa.

Reazione vincolare (dalla seconda equazione): $R = mg\cos30^\circ = 29{,}43 \cdot 0{,}866 = 25{,}5\;\text{N}$

Risultato. $\ev{a = g\sin\theta = 4{,}9\;\text{m/s}^2 \quad (\text{in discesa}), \qquad R = mg\cos\theta = 25{,}5\;\text{N}}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Forza peso · Forza normale Competenze: Scomposizione sul piano inclinato · Diagramma di corpo libero Oggetti: Piano inclinato · Blocco