Dimostrazione dell'accelerazione centripeta

Testo

Dimostra, a partire dalla definizione vettoriale di accelerazione $\vv{a} = \dd\vv{v}/\dd t$ e considerando due istanti separati da un piccolo intervallo $\Delta t$ lungo una circonferenza, che in un moto circolare uniforme il modulo dell’accelerazione vale $a_c = v^2/r = \omega^2 r$ ed è diretto verso il centro.

Soluzione

Impostazione. In un moto circolare uniforme il modulo della velocità $v$ è costante, ma il vettore $\vv{v}$ cambia continuamente direzione: è sempre tangente alla circonferenza. C’è quindi accelerazione, perché varia la direzione di $\vv{v}$.

Due istanti vicini. Consideriamo la posizione al tempo $t$ e al tempo $t+\Delta t$. Nell’intervallo $\Delta t$ il raggio spazza un piccolo angolo $\Delta\theta$. Poiché $\vv{v}$ è perpendicolare al raggio in ogni punto, i due vettori velocità $\vv{v}_1$ e $\vv{v}_2$ formano tra loro lo stesso angolo $\Delta\theta$ dei due raggi.

Triangolo delle velocità. Riportiamo $\vv{v}_1$ e $\vv{v}_2$ con la stessa origine. Hanno lo stesso modulo $v$ e formano l’angolo $\Delta\theta$; il vettore variazione $\Delta\vv{v} = \vv{v}_2 - \vv{v}_1$ è la base di un triangolo isoscele. Per angoli piccoli la lunghezza della base è l’arco di raggio $v$: $\abs{\Delta\vv{v}} \approx v\,\Delta\theta$ Questo è del tutto analogo alla relazione geometrica sulla circonferenza, dove l’arco percorso è $\Delta s = r\,\Delta\theta$.

Modulo dell’accelerazione. Dividendo per $\Delta t$ e passando al limite $\Delta t\to 0$: $a_c = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\abs{\Delta\vv{v}}}{\Delta t} = v\,\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = v\,\omega$ dove $\omega = \dd\theta/\dd t$ è la velocità angolare. Usando la relazione fondamentale $v = \omega r$: $a_c = v\,\omega = (\omega r)\,\omega = \omega^2 r \qquad\text{e anche}\qquad a_c = v\,\omega = v\cdot\frac{v}{r} = \frac{v^2}{r}$

$\ev{a_c = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r}$

Direzione. Nel limite $\Delta t\to 0$ l’angolo $\Delta\theta\to 0$: il triangolo isoscele diventa infinitamente sottile e la base $\Delta\vv{v}$ tende a essere perpendicolare a $\vv{v}$, cioè diretta lungo il raggio. Guardando il verso, $\Delta\vv{v}$ punta dal punto verso l’interno: l’accelerazione è centripeta, diretta verso il centro della circonferenza. È l’accelerazione che “curva” continuamente la traiettoria senza cambiare il modulo della velocità.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Moto circolare uniforme · Accelerazione centripeta · Velocità angolare Competenze: Impostazione simbolica · Scomposizione vettoriale · Uso della trigonometria