Ranking di punti su un disco rotante

Testo

Tre punti su un disco rotante con velocità angolare costante $\omega$:

• A a distanza $r$ dal centro;
• B a distanza $2r$;
• C a distanza $3r$.

Ordina le accelerazioni centripete dal più piccolo al più grande.

Soluzione

Formula giusta. Su un corpo rigido che ruota, tutti i punti hanno la stessa velocità angolare $\omega$, ma velocità (tangenziale) diverse: $v = \omega\,d$, tanto maggiore quanto più il punto è lontano dal centro. Conviene quindi esprimere l’accelerazione centripeta in funzione di $\omega$, che è comune a tutti: $a_c = \omega^2\,d$ ($d$ = distanza dal centro). A parità di $\omega$, l’accelerazione è proporzionale alla distanza dal centro.

Calcolo per i tre punti.

Punto	Distanza $d$	$a_c = \omega^2 d$
A	$r$	$\omega^2 r$
B	$2r$	$2\,\omega^2 r$
C	$3r$	$3\,\omega^2 r$

Ordinamento (dal più piccolo al più grande): $\omega^2 r < 2\omega^2 r < 3\omega^2 r$, cioè $a_A < a_B < a_C$, ossia

$\ev{a_C > a_B > a_A}$

Attenzione al tranello. Se si usasse per errore $a_c = v^2/d$ pensando la stessa $v$ per tutti, si otterrebbe l’ordine opposto. Ma sul disco rigido è $\omega$ a essere comune, non $v$: il punto più esterno (C) ha sia la velocità sia l’accelerazione centripeta maggiori.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Accelerazione centripeta · Velocità angolare · Moto circolare uniforme Competenze: Ragionamento di ranking · Impostazione simbolica Oggetti: Disco rotante