La soluzione: seno e coseno

Quali funzioni, derivate due volte, tornano in sé cambiate di segno? Il seno e il coseno. Non è un caso: sono esattamente le funzioni che risolvono $\ddot x = -\omega^2 x$. La soluzione generale dell’equazione del MAS è

$\ev{x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)}$

dove i tre parametri hanno significati distinti:

• $A$ è l’ampiezza (m), il massimo spostamento dalla posizione di equilibrio;
• $\omega$ è la pulsazione (rad/s), legata al periodo $T$ e alla frequenza $f$ da $T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$
• $\varphi$ è la fase iniziale (rad), che dipende da posizione e velocità del corpo a $t = 0$.

Intuizione

$A$, $\omega$ e $\varphi$ sono “l’ampiezza”, “quanto velocemente” e “da dove parte”. Fissano completamente il moto: dati questi tre numeri, sappiamo dov’è il corpo in ogni istante.

Verifica. Deriviamo $x(t)$ due volte e controlliamo che soddisfi l’equazione:

$\begin{aligned} \dot x(t) &= -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \\ \ddot x(t) &= -A\,\omega^2\,\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2\,x(t) \end{aligned}$

Bingo: l’accelerazione è proporzionale a $x$ con segno opposto e costante $\omega^2$. La sinusoide è davvero la soluzione.

Formula chiave — Periodo della massa-molla

$\ev{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}}$ Notare l’indipendenza dall’ampiezza: $T$ non dipende da quanto in là tiriamo la massa, finché la molla resta lineare. È l’isocronia delle piccole oscillazioni, osservata già da Galileo sulle lampade oscillanti del Duomo di Pisa.

Perché compare $2\pi$

Il $2\pi$ rappresenta un giro completo: il moto armonico è la proiezione su un asse di un moto circolare uniforme di raggio $A$. Un’oscillazione avanti-e-indietro corrisponde a un giro dell’angolo $\omega t$.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Periodo e frequenza Oggetti: Molla

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