Piccole oscillazioni e periodo del pendolo

L’equazione del pendolo $\ddot\theta = -\dfrac{g}{\ell}\sin\theta$ diventa maneggevole se l’angolo è piccolo. Per $\theta \ll 1$ rad (circa $10^\circ$ o meno) vale l’approssimazione $\sin\theta \approx \theta$, e l’equazione si linearizza:

$\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\,\theta$

Ora è esattamente la forma del moto armonico semplice $\ddot\theta = -\omega^2\theta$. Confrontando i coefficienti leggiamo pulsazione e periodo:

$\ev{\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}},\qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}}$

Principio — Periodo del pendolo semplice

Il periodo del pendolo semplice di lunghezza $\ell$ non dipende dalla massa, né dall’ampiezza (per piccole oscillazioni), ma solo dalla lunghezza del filo e dalla gravità locale (French 1971). Vedi Riferimenti bibliografici.

Galileo a Pisa

Due pendoli con palle di legno e di piombo, di uguale lunghezza, oscillano in sincronia: la massa non c’entra, è $\sqrt{\ell/g}$ a comandare. È lo stesso isocronismo che rende il pendolo un ottimo regolatore per gli orologi.

Il fatto che $T$ dipenda da $g$ ha una conseguenza pratica notevole: il pendolo è un gravimetro. A parità di lunghezza $\ell$, misurando il periodo si risale al valore locale di $g$ — sulla Terra, sulla Luna o su un altro pianeta.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice · Periodo e frequenza Competenze: Approssimazione delle piccole oscillazioni Metodi: Approssimazione lineare delle piccole oscillazioni Oggetti: Pendolo semplice

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