Grandi ampiezze: correzione al periodo

L’isocronia del pendolo vale solo finché $\sin\theta \approx \theta$. Quando l’ampiezza non è più “piccola”, questa approssimazione salta e il periodo comincia a dipendere dall’ampiezza $\theta_0$. La correzione si scrive come uno sviluppo in serie:

$T \approx 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}\left(1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \frac{11\,\theta_0^4}{3072} + \cdots\right)$

Il termine dominante $\theta_0^2/16$ dice che il periodo cresce con l’ampiezza. Qualche numero: a $\theta_0 = 30^\circ \approx 0{,}52$ rad la correzione è già circa $1{,}7\%$; a $90^\circ$ arriva a quasi $20\%$.

Perché il periodo aumenta

A grande ampiezza la forza di richiamo vera ($-mg\sin\theta$) è più debole di quella lineare ($-mg\theta$), perché $\sin\theta < \theta$. Una molla “più molle” del previsto trattiene meno il corpo, che impiega più tempo a completare l’oscillazione.

Questa è la ragione per cui gli orologi a pendolo, prima dei sistemi a fuga di Huygens che mantengono l’ampiezza costante, dovevano oscillare con ampiezza molto piccola: solo lì il periodo è davvero indipendente dall’ampiezza e l’orologio non ritarda quando la spinta cala.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Pendolo semplice

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