Velocità di una cometa al perielio

Testo

Una cometa ha un’orbita ellittica attorno al Sole con perielio $r_P = 1{,}0\ \text{UA}$ e afelio $r_A = 5{,}0\ \text{UA}$. Usando la conservazione dell’energia e del momento angolare, calcola la velocità della cometa al perielio. Dati: $GM_S \approx 1{,}33\cdot 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2$, $1\ \text{UA} = 1{,}5\cdot 10^{11}\ \text{m}$.

Soluzione

Le due leggi di conservazione. Al perielio e all’afelio la velocità è perpendicolare al raggio, quindi $L = m\,v\,r$. Conservazione del momento angolare: $v_P\,r_P = v_A\,r_A \;\Rightarrow\; v_A = v_P\,\frac{r_P}{r_A} = \frac{v_P}{5}$

Conservazione dell’energia meccanica (la massa $m$ della cometa si semplifica): $\tfrac{1}{2}v_P^2 - \frac{GM_S}{r_P} = \tfrac{1}{2}v_A^2 - \frac{GM_S}{r_A}$

Sostituisco $v_A = v_P/5$: $\tfrac{1}{2}v_P^2\left(1 - \frac{1}{25}\right) = GM_S\left(\frac{1}{r_P} - \frac{1}{r_A}\right)$ $\tfrac{1}{2}v_P^2\cdot\frac{24}{25} = GM_S\left(\frac{1}{r_P} - \frac{1}{r_A}\right)$

Valori numerici ($r_P = 1{,}5\cdot 10^{11}\ \text{m}$, $r_A = 7{,}5\cdot 10^{11}\ \text{m}$): $\frac{1}{r_P} - \frac{1}{r_A} = \frac{1}{1{,}5\cdot 10^{11}} - \frac{1}{7{,}5\cdot 10^{11}} = 5{,}33\cdot 10^{-12}\ \text{m}^{-1}$ $GM_S\left(\frac{1}{r_P} - \frac{1}{r_A}\right) = 1{,}33\cdot 10^{20}\cdot 5{,}33\cdot 10^{-12} \approx 7{,}09\cdot 10^{8}$

Ricavo $v_P$: $v_P^2 = \frac{2\cdot 7{,}09\cdot 10^{8}}{24/25} = \frac{1{,}42\cdot 10^{9}}{0{,}96} \approx 1{,}48\cdot 10^{9}$

$\ev{v_P \approx 3{,}8\cdot 10^4\ \text{m/s}}$

Al perielio la cometa “sfreccia” ($\approx 38\ \text{km/s}$); all’afelio, cinque volte più lontana, va cinque volte più lenta ($v_A = v_P/5 \approx 7{,}6\ \text{km/s}$).

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Conservazione del momento angolare · Energia potenziale gravitazionale universale · Orbite Competenze: Conservazione dell’energia · Conservazione del momento angolare