Problema — Perché l'atmosfera non ha elio

Testo

Perché l’atmosfera non ha elio. L’atmosfera terrestre contiene azoto e ossigeno in grande quantità, ma pochissimo elio. Il motivo è cinetico: la velocità di fuga dalla Terra è $v_f \approx 11\ \text{km/s}$.

• (a) Perché una molecola di elio ha una probabilità molto maggiore di una molecola di azoto di raggiungere $v_f$ a temperatura ambiente?
• (b) Perché sulla Luna nessun gas resta intrappolato a lungo?

Rispondi con argomenti solo qualitativi ma quantitativamente giustificati.

Soluzione

(a) A parità di temperatura tutte le molecole hanno la stessa energia cinetica media $\langle E_\text{cin}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$, ma la velocità dipende dalla massa: $v_\text{rms}\propto 1/\sqrt{m}$. L’elio ($m=4$ u) è più leggero dell’azoto ($m=28$ u), quindi è più veloce di un fattore $\frac{v_\text{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{28}{4}} = \sqrt{7} \approx 2{,}6$ Essendo la sua velocità tipica ~$2{,}6$ volte maggiore, la distribuzione di velocità dell’elio è molto più “spostata a destra”: la sua coda di Maxwell–Boltzmann oltre la soglia $v_f$ contiene una frazione di molecole enormemente più grande. Nel corso delle ere geologiche l’elio evapora nello spazio, mentre l’azoto, molto più lento, resta intrappolato.

(b) La velocità di fuga dipende dalla massa del corpo: sulla Luna è molto più bassa, $v_f \approx 2{,}4\ \text{km/s}$, contro gli $11$ km/s terrestri. Con una soglia così bassa, anche le molecole pesanti (azoto, ossigeno, anidride carbonica) hanno una frazione significativa nella coda oltre $v_f$ già a temperatura ordinaria. Perciò qualunque gas evapora rapidamente e la Luna non trattiene atmosfera. $\ev{\text{He} \sim 2{,}6\times\ \text{più veloce} \Rightarrow \text{fugge};\quad \text{Luna } v_f\approx 2{,}4\ \text{km/s} \Rightarrow \text{nessun gas resta}}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Distribuzione di Maxwell-Boltzmann · Velocità quadratica media Competenze: Interpretazione micro-macro