Esercizio svolto — Tre cariche ai vertici di un triangolo

Testo

Tre cariche $q_1 = 2\cdot 10^{-4}\ \text{C}$, $q_2 = -3\cdot 10^{-4}\ \text{C}$ e $q_3 = 5\cdot 10^{-4}\ \text{C}$ sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato $\ell = 0{,}1\ \text{m}$. Trovare la forza risultante che agisce su $q_3$.

Soluzione

Uso $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$. Sulla carica $q_3$ agiscono due forze coulombiane: $\vv{F}_{13}$ (da $q_1$) e $\vv{F}_{23}$ (da $q_2$). Entrambe hanno modulo dato dalla legge di Coulomb con $r = \ell$.

Modulo di $\vv{F}_{13}$ (repulsiva: $q_1,q_3$ entrambe positive):

$F_{13} = k\,\frac{q_1 q_3}{\ell^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{(2\cdot 10^{-4})(5\cdot 10^{-4})}{(0{,}1)^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{10^{-7}}{10^{-2}} = 8{,}99\cdot 10^4\ \text{N} \approx 89{,}9\ \text{kN}$

Modulo di $\vv{F}_{23}$ (attrattiva: $q_2<0$, $q_3>0$):

$F_{23} = k\,\frac{|q_2|\,q_3}{\ell^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{(3\cdot 10^{-4})(5\cdot 10^{-4})}{(0{,}1)^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{1{,}5\cdot 10^{-7}}{10^{-2}} \approx 134{,}9\ \text{kN}$

Direzioni. Metto $q_3$ nel vertice in alto (C). $\vv{F}_{13}$ è repulsiva quindi punta lungo la retta $A\to C$ prolungata, cioè nella direzione $(\cos 60^\circ,\ \sin 60^\circ) = (0{,}5;\ 0{,}866)$. $\vv{F}_{23}$ è attrattiva quindi punta da $C$ verso $B$, direzione $(0{,}5;\ -0{,}866)$.

Componenti (in kN):

$F_x = F_{13}\cdot 0{,}5 + F_{23}\cdot 0{,}5 = 89{,}9\cdot 0{,}5 + 134{,}9\cdot 0{,}5 = 44{,}95 + 67{,}45 = 112{,}4\ \text{kN}$

$F_y = F_{13}\cdot 0{,}866 - F_{23}\cdot 0{,}866 = (89{,}9 - 134{,}9)\cdot 0{,}866 = -45\cdot 0{,}866 = -38{,}96\ \text{kN}$

Modulo risultante:

$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{112{,}4^2 + 38{,}96^2} = \sqrt{12634 + 1518} \approx 118{,}9\ \text{kN}$

Direzione (angolo sotto l’orizzontale):

$\theta = \arctan\!\frac{|F_y|}{F_x} = \arctan\frac{38{,}96}{112{,}4} \approx 19{,}1^\circ$

$\ev{F \approx 118{,}9\ \text{kN},\quad \theta \approx 19{,}1^\circ \text{ sotto l'orizzontale}}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb Competenze: Principio di sovrapposizione