Dal potenziale al campo: il gradiente

La relazione $V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E}\cdot \dd\vec{\ell}$ lega il potenziale al campo tramite un’integrazione. Ma la stessa relazione si può invertire: se conosciamo $V$ in ogni punto, possiamo ricavare $\vec{E}$ operando una derivazione. In tre dimensioni l’operazione corretta è il gradiente, cioè il vettore che raccoglie le derivate parziali di $V$ lungo i tre assi.

Principio — Campo come gradiente del potenziale

Il campo elettrico è l’opposto del gradiente del potenziale: $\ev{\vec{E} = -\,\nabla V = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\,\vers{x} + \frac{\partial V}{\partial y}\,\vers{y} + \frac{\partial V}{\partial z}\,\vers{z}\right)}$

Il gradiente punta nella direzione di massima crescita di $V$; il segno meno lo capovolge, cosicché $\vec{E}$ punta verso i valori decrescenti del potenziale, con intensità tanto maggiore quanto più ripida è la variazione.

Formula chiave

In una dimensione, o lungo la direzione perpendicolare alle equipotenziali: $E = -\dfrac{\dd V}{\dd r}$ Stima pratica su una differenza finita: $\abs{\vec{E}} \approx \dfrac{\abs{\Delta V}}{\Delta d}$

Applicare la formula del gradiente ai casi già noti restituisce i campi corretti, confermando la coerenza del quadro:

• Carica puntiforme: $V = kQ/r \Rightarrow E = -\dd V/\dd r = kQ/r^2$. ✓
• Condensatore piano: $V = -Ed + C \Rightarrow E = -\dd V/\dd d = E$. ✓
• Guscio sferico (dentro): $V = kQ/R = \text{cost} \Rightarrow E = 0$. ✓
• Piano infinito: $V = -\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,d \Rightarrow E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$. ✓

In particolare, dentro il guscio conduttore il potenziale è costante: la sua derivata è nulla e quindi il campo è nullo, in perfetto accordo con il teorema di Gauss.

Riepilogo — Potenziali tipici

Distribuzione	Potenziale
Carica puntiforme	$V = kQ/r$
Guscio ($r>R$)	$V = kQ/r$
Guscio ($r<R$)	$V = kQ/R$ (costante)
Piano (zero sul piano)	$V = -\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,d$
Filo	$V = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r + C$

Perché il segno meno?

La relazione $\vec{E} = -\nabla V$ dice che il campo punta in discesa nel paesaggio del potenziale, esattamente come un oggetto che scivola dalla montagna scende verso il basso. L’acqua scorre dove la quota diminuisce; una carica positiva si muove spontaneamente dove $V$ diminuisce. Il segno meno assicura che il lavoro compiuto dal campo quando $q > 0$ si sposta da $A$ a $B$ sia $W_{A\to B} = q(V_A - V_B) > 0$ se $V_A > V_B$: la carica “discende” il potenziale e il campo fa lavoro positivo.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Campo elettrico · Potenziale elettrico Metodi: Metodo del gradiente

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