Condensatore cilindrico e sferico

Il condensatore piano è solo il caso più semplice. Cambiando la geometria delle armature — cilindri coassiali o sfere concentriche — la fisica resta identica (legge di Gauss, integrazione del campo per ottenere $\Delta V$, poi $C = Q/\Delta V$), ma la forma della capacità cambia. Vale la pena vedere i due casi più importanti, perché ricorrono nella pratica: i cavi coassiali sono ovunque, e il condensatore sferico è il ponte che riconduce alla geometria piana.

Condensatore cilindrico

Due cilindri conduttori coassiali di raggi $r_1 < r_2$ e lunghezza $L$ portano cariche $\pm Q$. Per il teorema di Gauss, tra i cilindri il campo è radiale: $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,\rho} = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L\,\rho} \qquad (r_1 < \rho < r_2)$ La differenza di potenziale si ricava integrando lungo il raggio: $\Delta V = \int_{r_1}^{r_2} E\,\dd\rho = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\ln\!\frac{r_2}{r_1}$ da cui la capacità per unità di lunghezza: $\frac{C}{L} = \frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(r_2/r_1)}$ Questa è la geometria dei cavi coassiali (TV, reti dati) e di alcuni rivelatori di particelle.

Condensatore sferico

Due gusci concentrici di raggi $r$ e $R$ (con $r < R$) portano cariche $\pm Q$. Per Gauss $|E| = kQ/\rho^2$ tra le sfere. Integrando si ottiene $|\Delta V| = kQ(1/r - 1/R)$, da cui: $\ev{C_{\text{sfer}} = 4\pi\varepsilon_0\,\frac{rR}{R-r}}$ Nel limite in cui il gap è sottile, $R - r \ll r$, questa formula si riduce esattamente a quella del condensatore piano: le due armature quasi affacciate “non vedono” più la curvatura.

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Capacità e condensatore Oggetti: Condensatore piano

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