Funzione d'onda armonica

L’onda più semplice è l’onda armonica: il suo profilo è una funzione coseno, la stessa curva liscia e periodica del moto armonico semplice, ma “congelata” nello spazio. Ogni punto del mezzo compie un’oscillazione armonica attorno alla propria posizione di equilibrio; punti vicini oscillano leggermente sfasati tra loro, e questo sfasamento crescente lungo lo spazio è ciò che dà all’onda la sua forma sinuosa e la fa apparire in movimento.

Onda armonica: $A$ = ampiezza, $\lambda$ = lunghezza d’onda, $v$ = velocità di propagazione.

La curva è descritta da una funzione d’onda $\phi(x,t)$ che dipende sia dalla posizione $x$ sia dal tempo $t$: fissato un istante, ci dà la “fotografia” del profilo dell’onda; fissato un punto, ci dà l’oscillazione nel tempo di quel punto del mezzo.

Formula chiave — Funzione d'onda armonica

$\ev{\phi(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \varphi_0)}$

L’argomento del coseno, la fase $kx - \omega t + \varphi_0$, contiene tutta l’informazione. Vediamo il significato di ciascuna grandezza.

Le grandezze dell'onda armonica

• $A$ = ampiezza: massimo scostamento dalla posizione di equilibrio.
• $\lambda$ = lunghezza d’onda: distanza spaziale dopo cui il profilo si ripete identico.
• $T$ = periodo: tempo dopo cui l’oscillazione di un punto si ripete identica.
• $f$ = frequenza: numero di oscillazioni al secondo, $f = 1/T$.
• $k = 2\pi/\lambda$ = numero d’onda: quanti radianti di fase “entrano” in ogni metro di spazio.
• $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$ = pulsazione: quanti radianti di fase scorrono in ogni secondo.
• $\varphi_0$ = fase iniziale: fissa il valore dell’onda in $x=0$, $t=0$.

I due fattori $2\pi$ non sono un capriccio: servono a trasformare una ripetizione “geometrica” (una lunghezza d’onda, un periodo) nei $2\pi$ radianti di cui il coseno ha bisogno per compiere un ciclo completo. Così, avanzando di una lunghezza d’onda $\lambda$ la fase spaziale $kx$ cresce esattamente di $2\pi$, e trascorrere un periodo $T$ fa crescere la fase temporale $\omega t$ di $2\pi$: in entrambi i casi il coseno ritorna al valore di partenza, com’è giusto per un fenomeno periodico.

Collegamenti

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