Problema — Campo B nel condensatore in carica

Testo

Un condensatore piano ad armature circolari di raggio $R=5{,}0$ cm è caricato da una corrente costante $i=2{,}0$ A; il campo $\vv E$ fra le armature cresce linearmente nel tempo. (a) Scrivi la legge di Ampère-Maxwell lungo un cerchio di raggio $r<R$ centrato sull’asse. (b) Ricava $\abs{\vv B}=\dfrac{\mu_0 i r}{2\pi R^2}$ e mostra che in $r=R$ si raccorda con il campo esterno $\dfrac{\mu_0 i}{2\pi R}$. (c) Disegna l’andamento $\abs{\vv B}(r)$.

Soluzione

Impostazione — corrente di spostamento. Fra le armature non scorre carica, ma il flusso di $\vv E$ cambia nel tempo. Maxwell introduce la corrente di spostamento $i_s=\varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}$. Sull’intera armatura ($A=\pi R^2$) il flusso è $\Phi_E=E\,\pi R^2$, quindi:

$i_s=\varepsilon_0\,\pi R^2\,\frac{dE}{dt}$

La carica del condensatore impone che questa corrente di spostamento eguagli la corrente di carica $i$:

$\varepsilon_0\,\pi R^2\,\frac{dE}{dt}=i$

(a) Ampère-Maxwell sul cerchio $r<R$. Sul cerchio interno concateniamo solo la frazione di corrente di spostamento che passa nell’area $\pi r^2$, cioè una frazione $(r/R)^2$ del totale $i$:

$\oint \vv B\cdot d\vv\ell=B\,(2\pi r)=\mu_0\,i\,\frac{r^2}{R^2}$

(b) Campo interno e raccordo. Ricavo $B$:

$B\,(2\pi r)=\mu_0\,i\,\frac{r^2}{R^2}$

$\ev{B=\frac{\mu_0\,i\,r}{2\pi R^2}}\qquad (r<R)$

All’esterno tutta la corrente $i$ è concatenata, come attorno a un filo:

$B=\frac{\mu_0\,i}{2\pi r}\qquad (r>R)$

In $r=R$ le due espressioni coincidono:

$\frac{\mu_0\,i\,R}{2\pi R^2}=\frac{\mu_0\,i}{2\pi R}=\frac{\mu_0\,i}{2\pi R}$

Il campo è continuo: cresce linearmente da $0$ fino al picco in $r=R$, poi decresce come $1/r$.

(c) Grafico $\abs{\vv B}(r)$.

Collegamenti

Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Corrente di spostamento · Teorema di Ampère · Campo magnetico