Problema — Perché la corrente di spostamento

Testo

Spiega perché Maxwell aggiunse il termine $\varepsilon_0\,\dfrac{d\Phi_E}{dt}$ alla legge di Ampère. Quale paradosso, legato a un condensatore in fase di carica, questa aggiunta risolve?

Soluzione

La legge di Ampère originaria. Nella forma di Ampère, la circuitazione di $\vv B$ lungo una linea chiusa dipende solo dalla corrente di conduzione concatenata:

$\oint \vv B \cdot d\vv\ell = \mu_0\, i_\text{concatenata}$

La corrente concatenata si calcola come flusso di $\vv j$ attraverso una qualsiasi superficie che ha per bordo quella linea chiusa.

Il paradosso del condensatore. Consideriamo il filo che porta corrente $i$ a un condensatore in carica e una linea chiusa che circonda il filo. Possiamo scegliere due superfici con lo stesso bordo:

• superficie 1: attraversata dal filo $\Rightarrow$ la corrente concatenata è $i$, quindi $\oint \vv B\cdot d\vv\ell = \mu_0 i$;
• superficie 2: “a sacchetto”, che passa tra le armature, dove nessuna carica fluisce $\Rightarrow$ corrente concatenata $= 0$, quindi $\oint \vv B\cdot d\vv\ell = 0$.

Stessa linea chiusa, due risultati diversi: contraddizione. La legge di Ampère così com’è non è coerente quando la corrente non è stazionaria.

La correzione di Maxwell. Tra le armature non c’è corrente di conduzione, ma c’è un campo elettrico $\vv E$ che cresce nel tempo mentre il condensatore si carica: dunque un flusso elettrico $\Phi_E$ variabile. Maxwell postula che anche questo flusso variabile faccia da sorgente di $\vv B$, introducendo la corrente di spostamento $i_S = \varepsilon_0\,\dfrac{d\Phi_E}{dt}$:

$\oint \vv B \cdot d\vv\ell = \mu_0\left(i + \varepsilon_0\,\frac{d\Phi_E}{dt}\right)$

Sulla superficie 2 la corrente di conduzione è nulla, ma $\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt$ vale esattamente $i$: le due superfici danno ora lo stesso risultato $\mu_0 i$.

$\ev{\varepsilon_0\,\frac{d\Phi_E}{dt}\text{ rende la circuitazione indipendente dalla superficie: paradosso risolto e nasce l'onda EM}}$

Questo termine, oltre a ripristinare la coerenza, è la chiave che rende possibili le onde elettromagnetiche: un campo elettrico variabile genera un campo magnetico anche nel vuoto.

Collegamenti

Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Corrente di spostamento · Teorema di Ampère