Contrazione delle lunghezze

Se i tempi si dilatano, le lunghezze si contraggono. È l’altra faccia della stessa medaglia: un oggetto in moto risulta più corto, misurato lungo la direzione del suo moto, di quanto lo sia nel sistema in cui è fermo. Ma di quanto, esattamente, e per chi?

Legge — Contrazione delle lunghezze

Se un oggetto (o un campo di gara) ha lunghezza a riposo $L_0$, cioè misurata nel SR in cui è fermo, allora nel SR in cui l’oggetto si muove a velocità $v$ la sua lunghezza misurata è $\ev{L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\,\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ La contrazione avviene solo lungo la direzione del moto, non perpendicolarmente ad essa.

Due punti vanno sottolineati. Primo: la lunghezza a riposo $L_0$ è la più grande possibile; qualunque osservatore che veda l’oggetto in moto lo misura più corto, di un fattore $1/\gamma < 1$. Secondo: solo le dimensioni parallele al moto si contraggono. Un metro che sfreccia in orizzontale appare accorciato in orizzontale ma della stessa altezza di sempre; una sfera in moto diventa uno “schiacciato” ellissoide, appiattito nella sola direzione della velocità.

Riprendiamo la gara dei conigli. Lo spettatore fermo dice che il campo è lungo $2000$ sl e che i conigli corrono dai suoi due estremi. Ma Matilda, nel suo sistema di riferimento, vede il campo più corto: è lei a stare ferma (rispetto a se stessa), mentre il traguardo le viene incontro. Con $v=0{,}8\,c$ si ha $\gamma = 1/\sqrt{1-0{,}64} \approx 1{,}67$, quindi per Matilda il campo è lungo

$L = \frac{2000}{1{,}67} \approx 1200\ \text{sl}.$

Il risultato è coerente con il tempo proprio: Matilda viaggia a $0{,}8\,c$ per $\Delta\tau_M = 1500$ s, percorrendo $0{,}8 \cdot 1500 = 1200$ sl — esattamente la lunghezza contratta del campo. Dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze sono così due descrizioni dello stesso fenomeno, viste da osservatori diversi: ciò che per lo spettatore è “un campo lungo attraversato lentamente” per Matilda è “un campo corto attraversato in poco tempo proprio”.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Contrazione delle lunghezze · Dilatazione dei tempi Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski

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