SR di simultaneità e di cospazialità

Abbiamo visto che per una coppia tipo spazio esiste un SR in cui i due eventi sono simultanei, e per una coppia tipo tempo un SR in cui sono cospaziali (stesso punto). Resta da rispondere a una domanda quantitativa: quanto velocemente si muove tale SR rispetto al laboratorio? La risposta è geometricamente trasparente nel piano di Minkowski.

Velocità del SR di simultaneità (eventi tipo spazio)

Se $\{E_1,E_2\}$ è di tipo spazio, esiste un SR in cui $\Delta t'=0$. Nel piano $(t,s)$ del laboratorio, gli eventi simultanei in $\text{SR}'$ giacciono lungo le rette parallele all’asse spaziale di $\text{SR}'$. Per le trasformazioni di Lorentz, l’asse $s'$ (l’insieme degli eventi a $t'=0$ in $\text{SR}'$) ha nel piano del laboratorio equazione $t = v\,s$ (in unità $c=1$), cioè una retta di pendenza $1/v$ rispetto all’asse $t$. Imponendo che questa retta passi per i due eventi si ottiene subito la velocità cercata:

$\ev{v_\text{simult} = \frac{\Delta t}{\Delta s}}$

valida per eventi tipo spazio, per cui $|\Delta t/\Delta s|<1$. Il rapporto $\Delta t/\Delta s$ è proprio l’inverso della “velocità di propagazione apparente” tra i due eventi; e vale sempre $|v_\text{simult}|<1$, com’è necessario perché tale SR possa esistere davvero.

Velocità del SR di cospazialità (eventi tipo tempo)

Se $\{E_1,E_2\}$ è di tipo tempo, esiste un SR in cui $\Delta s'=0$: i due eventi accadono nello stesso punto. Lo si individua immediatamente, perché deve essere il SR di un osservatore che si muove di moto uniforme proprio da $E_1$ a $E_2$:

$\ev{v_\text{cosp} = \frac{\Delta s}{\Delta t}}$

valida per eventi tipo tempo, per cui $|\Delta s/\Delta t|<1$. Geometricamente, l’asse temporale di $\text{SR}'$ è proprio la retta che congiunge $E_1$ ed $E_2$ nel piano del laboratorio: una retta inclinata che passa per i due eventi.

Le due formule sono l’una l’inversa dell’altra, e questo non è un caso: riflette la dualità geometrica tra asse spaziale e asse temporale nel passaggio da un inerziale all’altro. Per una coppia tipo spazio ha senso chiedersi dove renderla simultanea; per una coppia tipo tempo ha senso chiedersi in quale moto renderla cospaziale. Provare a scambiare i due casi porterebbe a una velocità maggiore di $c$, cioè a un SR inesistente — il modo algebrico in cui la teoria ricorda da sola quale domanda è lecita.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Relatività della simultaneità · Invariante spazio-temporale Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski

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