Duello western relativistico

Testo

Nel deserto, il Brutto (a $-2000$~sl) e il Cattivo (a $+2000$~sl) sparano al Buono (al centro). Per lo spettatore (SRS) i due colpi partono nello stesso istante $t=0$. Di che tipo è l’intervallo fra i due spari? Un avvoltoio sorvola la scena a $v=0{,}8\,c$ verso sinistra: chi spara per primo nel suo SR? Argomenta senza calcoli espliciti, usando l’invariante e la relatività della simultaneità.

Soluzione

Unità naturali $c=1$. Chiamiamo $E_B$ lo sparo del Brutto e $E_C$ quello del Cattivo. In SRS entrambi avvengono a $t=0$: $E_B=(0,-2000)$, $E_C=(0,+2000)$.

Tipo di intervallo. Fra i due spari $\Delta t = 0$ e $\Delta s = 4000$~sl: $\Delta t^2-\Delta s^2 = 0 - 4000^2 < 0 \;\Rightarrow\; \ev{\text{intervallo tipo spazio}}$ Nessuno dei due colpi può causare l’altro (per farlo un segnale dovrebbe viaggiare più veloce della luce). Per un intervallo tipo spazio l’ordine temporale non è assoluto: dipende dal SR.

Chi spara per primo per l’avvoltoio. Poiché l’intervallo è tipo spazio, la relatività della simultaneità dice che due osservatori in moto relativo possono vedere gli spari in ordine diverso; l’ordine dello spettatore ($t=0$ per entrambi, simultanei) è solo un caso particolare. Per stabilire il verso serve la regola qualitativa delle trasformazioni di Lorentz: passando a un SR che si muove in una certa direzione, l’evento che sta più avanti nel verso del moto anticipa rispetto a quello che sta dietro.

L’avvoltoio si muove verso sinistra (verso $s$ decrescenti), cioè nel verso in cui si trova il Brutto ($-2000$~sl). Quindi, nel SR dell’avvoltoio, lo sparo che sta “avanti” nel verso del moto — quello del Brutto — avviene prima, e quello del Cattivo dopo. $\ev{\text{per l'avvoltoio spara prima il Brutto (l'evento nel verso del moto)}}$ Questo non contraddice la causalità: essendo l’intervallo tipo spazio, i due spari non hanno alcuna relazione causa-effetto, e il loro ordine è legittimamente relativo al riferimento.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Relatività della simultaneità · Invariante spazio-temporale Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski