Il paradosso del treno e della galleria

Un treno di lunghezza propria $L$ viaggia con velocità $v$ vicina a $c$ verso una galleria di lunghezza propria $L$ (la stessa lunghezza del treno “a riposo”). Agli imbocchi della galleria ci sono due cancelli automatici, capaci di chiudersi e riaprirsi istantaneamente. La domanda è semplice: si può, per un istante, intrappolare il treno dentro la galleria con entrambi i cancelli chiusi?

Sistema di riferimento della galleria (SRB). Il treno è contratto: lo vediamo lungo $L/\gamma < L$, quindi ci entra comodamente. Possiamo chiudere simultaneamente i due cancelli nell’istante in cui l’ultimo vagone ha appena varcato l’ingresso: per un breve istante il treno è intrappolato dentro la galleria. Subito dopo riapriamo i cancelli e il treno prosegue. Nessun problema.

Sistema di riferimento del treno (SRA). Dal punto di vista del macchinista è la galleria a essere contratta, lunga $L/\gamma < L$. Allora il treno, che resta lungo $L$ (la sua lunghezza propria), è più lungo della galleria. Sembra impossibile che i due cancelli si chiudano entrambi con il treno dentro: almeno una porzione di treno dovrebbe sporgere da un cancello o dall’altro. Contraddizione?

Dov’è il trucco? Nella simultaneità. Chiamiamo $E_1$ l’evento “il cancello d’ingresso si chiude” ed $E_2$ “il cancello d’uscita si chiude”. In SRB sono simultanei. Ma sono separati spazialmente di una quantità pari a $L$ (la lunghezza propria della galleria), quindi non possono essere simultanei in SRA. Per la formula della simultaneità:

$\Delta t_{(A)} = \gamma\,\frac{v}{c^2}\,L \neq 0$

Anzi, essendo $E_2$ a valle del moto del treno, in SRA l’evento $E_2$ accade prima di $E_1$: il cancello d’uscita si chiude e riapre prima che si chiuda quello d’ingresso. Dal treno la sequenza completa dei quattro eventi è:

1. il cancello d’uscita si chiude ($E_2$): la locomotiva non è ancora arrivata;
2. il cancello d’uscita si riapre ($E_4$): la locomotiva lo supera liberamente;
3. il cancello d’ingresso si chiude ($E_1$): l’ultimo vagone è già dentro e ha ormai varcato l’ingresso;
4. il cancello d’ingresso si riapre ($E_3$): il treno prosegue.

Non c’è mai un istante, in SRA, in cui entrambi i cancelli siano chiusi contemporaneamente: ed è proprio ciò che servirebbe per “imprigionare” il treno. Le due descrizioni sono diverse ma perfettamente coerenti: nessuna contraddizione.

Nel SR della galleria i due cancelli si chiudono simultaneamente: $E_1$ ed $E_2$ stanno sulla stessa verticale, cioè allo stesso istante $t_{(B)}$.

Nel SR del treno la chiusura del cancello d’uscita $E_2$ avviene prima di quella del cancello d’ingresso $E_1$: il treno non è mai “tutto dentro” con entrambi i cancelli chiusi.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Relatività della simultaneità Competenze: Costruzione di diagrammi di Minkowski Metodi: Diagramma di Minkowski

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