Il paradosso del treno e del buco nelle rotaie

Situazione simile a quella della galleria, ma con conclusione fisica opposta. Un treno di lunghezza propria $L$ corre a velocità $v$ su un binario in cui manca un tratto di rotaia lungo $L$ (di nuovo, la stessa lunghezza del treno a riposo). Chiamiamo SRA il SR del treno e SRB il SR delle rotaie. Il treno cadrà nel buco, oppure ci passerà sopra a cavallo?

SRB (rotaie). Il treno è contratto: $L_{(B)} = L/\gamma < L$. Quando il fronte arriva al primo bordo del buco, il treno “sta comodo” dentro il buco e dovrebbe cadere come una pietra.

SRA (treno). Il buco è contratto: $l_{(A)} = L/\gamma < L$. Allora il treno, lungo $L$, non entra nel buco: ci sta a cavallo e dovrebbe passare sopra indisturbato.

Chi ha ragione? Entrambi. La contraddizione apparente nasce dall’assumere tacitamente che il treno sia un corpo rigido: che tutti i suoi punti “sappiano” istantaneamente cosa succede al bordo anteriore e reagiscano all’unisono. Ma in relatività i corpi rigidi non esistono. Nessuna informazione, nemmeno lo sforzo interno alla struttura del treno, può viaggiare più veloce di $c$.

Quando il fronte del treno raggiunge il bordo del buco e “scopre” che sotto di lui manca la rotaia, cessa il sostegno: quel punto comincia a cadere. Ma l’informazione “non c’è più rotaia” deve propagarsi indietro lungo il treno, a una velocità non superiore a $c$. Le molecole che stanno dietro non sanno ancora di trovarsi sopra il buco: per loro il sostegno è ancora là. Cominciano a cadere solo quando il segnale arriva.

Cosa succede davvero?

• Nel SR delle rotaie: appena il fronte è sopra il buco, cade. La parte posteriore prosegue rettilinea ancora per un po’, restando sopra il binario intatto. Man mano che il treno avanza e il segnale meccanico si propaga all’indietro, sempre più parti cominciano a cadere. Il treno non è più una retta rigida ma una curva che s’inclina verso il basso.
• Nel SR del treno: il buco viene “incontro” da destra a velocità $-v$. Appena il primo bordo del buco raggiunge il fronte, il fronte inizia a cadere. Il segnale si propaga dal fronte verso la coda, sempre a velocità $\leq c$, deformando il treno in una curva. Non serve che “tutto il treno cada contemporaneamente”: punti diversi cadono in istanti diversi.

In entrambi i SR, quindi, il treno finisce per cadere nel buco. La differenza è solo come la deformazione si propaga nel tempo, ed è proprio questa la quantità che dipende dal SR, per la relatività della simultaneità.

Nel SR delle rotaie: da $F$ (il fronte entra nel buco) parte un segnale meccanico che avverte le parti posteriori del treno; ognuna cade solo quando il segnale la raggiunge.

Nel SR del treno: il buco (linee grigie inclinate) viene incontro al treno; da $F$ lo stesso segnale meccanico si propaga verso la coda a velocità $\leq c$. In entrambi i SR il treno si deforma e cade: non esistono corpi rigidi.

Perché questo paradosso è istruttivo

Il paradosso del buco nelle rotaie è più sottile di quello della galleria: per risolvere il primo basta la relatività della simultaneità, cioè cinematica pura; per il secondo occorre invece rinunciare a una nozione che sembrava ovvia, il “corpo rigido”, e accettare che qualsiasi deformazione interna si propaga a velocità finita. Nei solidi reali la velocità del suono è di poche migliaia di m/s, lontanissima da $c$: se si potesse davvero far viaggiare un treno a $0{,}9\,c$, esso si deformerebbe in modo spettacolare ben prima di raggiungere il buco. La relatività non è solo un gioco di formule: ci costringe a ripensare anche le proprietà macroscopiche della materia.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Relatività della simultaneità Competenze: Costruzione di diagrammi di Minkowski Metodi: Diagramma di Minkowski

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