Le trasformazioni di Lorentz

I tre ingredienti sviluppati finora — dilatazione dei tempi per eventi cospaziali, contrazione delle lunghezze per eventi simultanei, formula della relatività della simultaneità — bastano a ricavare le trasformazioni di Lorentz, cioè il modo compatto per riscrivere le coordinate di un qualsiasi evento passando da un SR all’altro. Sono il cuore matematico della relatività ristretta: una volta ottenute, ogni effetto cinematico ne discende come caso particolare.

Disposizione. Due eventi $E_1$ ed $E_2$ hanno in SRA coordinate $(t_{1(A)}, \vv{x}_{1(A)})$ e $(t_{2(A)}, \vv{x}_{2(A)})$. Vogliamo trovare $\Delta t_{21(B)}$ e $\Delta \vv{x}_{21(B)}$ in SRB, che si muove con velocità $\vv{v}$ rispetto a SRA. Per brevità poniamo $\Delta t = \Delta t_{21(A)}$ e $\Delta \vv{x} = \Delta \vv{x}_{21(A)}$.

Il trucco dell’evento ausiliario. Introduciamo un terzo evento $E_3$ costruito ad hoc, in modo che sia allo stesso tempo:

• cospaziale a $E_1$ in SRA: $\vv{x}_{3(A)} = \vv{x}_{1(A)}$;
• simultaneo a $E_2$ in SRA: $t_{3(A)} = t_{2(A)}$.

La scelta è furba perché su $E_3$ possiamo applicare separatamente la dilatazione dei tempi (accoppiandolo a $E_1$) e la relatività della simultaneità (accoppiandolo a $E_2$), due formule che già conosciamo.

Passo 1 (tempo di $E_3$ rispetto a $E_1$). $E_1$ ed $E_3$ sono cospaziali in SRA, quindi in SRB i loro tempi sono dilatati:

$t_{3(B)} - t_{1(B)} = \gamma\,(t_{3(A)} - t_{1(A)}) = \gamma\,\Delta t$

Passo 2 (tempo di $E_3$ rispetto a $E_2$). $E_3$ ed $E_2$ sono simultanei in SRA, con $\vv{L}_{32(A)} = \vv{x}_{3(A)} - \vv{x}_{2(A)} = -\Delta \vv{x}$. Per la relatività della simultaneità:

$t_{3(B)} - t_{2(B)} = -\gamma\,\frac{\vv{\beta}\cdot(-\Delta\vv{x})}{c} = \gamma\,\frac{\vv{\beta}\cdot\Delta\vv{x}}{c}$

Passo 3 (trasformazione del tempo). Sottraendo le due equazioni precedenti si elimina $t_{3(B)}$ e resta la trasformazione del tempo:

$\ev{\Delta t_{21(B)} = \gamma\left[\Delta t - \frac{\vv{v}\cdot\Delta\vv{x}}{c^2}\right]}$

Passo 4 (posizione di $E_3$ rispetto a $E_1$). In SRA $E_1$ ed $E_3$ sono nello stesso punto; in SRB, invece, nel frattempo è passato il tempo $\gamma\Delta t$ e SRA si è spostato di $-\vv{v}\,\gamma\Delta t$ rispetto a SRB. Quindi:

$\vv{x}_{3(B)} - \vv{x}_{1(B)} = -\vv{v}\,\gamma\,\Delta t$

Passo 5 (posizione di $E_3$ rispetto a $E_2$). $E_3$ ed $E_2$ sono simultanei in SRA, quindi la loro distanza in SRA è una lunghezza propria misurata in SRA; vista da SRB (dove i due eventi non sono simultanei) quella distanza appare dilatata del fattore $\gamma$ — è il contrario della contrazione delle lunghezze, perché qui è SRA a fare la misura:

$\vv{x}_{3(B)} - \vv{x}_{2(B)} = \gamma\,(\vv{x}_{3(A)} - \vv{x}_{2(A)}) = -\gamma\,\Delta\vv{x}$

Passo 6 (trasformazione della posizione). Sottraendo le equazioni dei passi 4 e 5 si elimina $\vv{x}_{3(B)}$ e resta la trasformazione della posizione:

$\ev{\Delta\vv{x}_{21(B)} = \gamma\left[\Delta\vv{x} - \vv{v}\,\Delta t\right]}$

Mettendo insieme i due risultati boxati otteniamo la legge di trasformazione completa, nel caso più comune di moto lungo un solo asse.

Trasformazioni di Lorentz (1D, lungo $x$)

Se SRB si muove con velocità $v$ lungo l’asse $x$ di SRA e le origini coincidono come evento di sincronizzazione, allora per ogni coppia di eventi: $\Delta t_{(B)} = \gamma\left(\Delta t_{(A)} - \frac{v\,\Delta x_{(A)}}{c^2}\right), \qquad \Delta x_{(B)} = \gamma\left(\Delta x_{(A)} - v\,\Delta t_{(A)}\right)$

La trasformazione inversa si ottiene con la regola più intuitiva della relatività: se SRB si muove a $+v$ rispetto a SRA, allora SRA si muove a $-v$ rispetto a SRB. Basta quindi scambiare i pedici $(A)\leftrightarrow(B)$ e sostituire $v \to -v$:

$\Delta t_{(A)} = \gamma\left(\Delta t_{(B)} + \frac{v\,\Delta x_{(B)}}{c^2}\right), \qquad \Delta x_{(A)} = \gamma\left(\Delta x_{(B)} + v\,\Delta t_{(B)}\right)$

La derivazione con l‘“evento ausiliario” è più lunga di altre, ma ha il pregio di usare solo strumenti già noti: dilatazione, contrazione e simultaneità relativa. Non abbiamo dovuto postulare nulla di nuovo.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Trasformazioni di Lorentz Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski

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