Effetto Doppler relativistico

Se una sorgente e un ricevitore si muovono l’uno rispetto all’altro, la frequenza della luce ricevuta cambia, esattamente come il fischio di un treno in avvicinamento suona più acuto di quando si allontana. In relatività ristretta la formula si ricava ragionando per eventi, usando soltanto la costanza di $c$ e la dilatazione dei tempi.

Disposizione. Uno scienziato fermo in SRA manda due brevi lampi di luce verso un oggetto solidale a SRB, che si muove a velocità $v$ rispetto a SRA (positiva se si allontana). Definiamo quattro eventi:

• $E_1$: partenza del primo lampo dallo scienziato;
• $E_2$: partenza del secondo lampo;
• $E_3$: il primo lampo raggiunge l’oggetto;
• $E_4$: il secondo lampo raggiunge l’oggetto.

Prendiamo $E_1$ come evento di sincronizzazione fra SRA ed SRB: $t_{1(A)} = t_{1(B)} = 0$ e $x_{1(A)} = x_{1(B)} = 0$. Lo scienziato emette i lampi con intervallo $\Delta t_{(A)} = t_{2(A)} - t_{1(A)}$, misurato sul suo orologio.

Passo 1: dilatazione fra eventi cospaziali. $E_1$ ed $E_2$ avvengono entrambi nel punto in cui sta lo scienziato: sono cospaziali in SRA. Quindi in SRB l’intervallo è dilatato:

$\Delta t_{(B)} = t_{2(B)} - t_{1(B)} = \gamma\,\Delta t_{(A)}$

Passo 2: leggi del moto in SRB. In SRB l’oggetto sta fermo nell’origine, mentre lo scienziato arretra a velocità $-v$. Il primo lampo parte da $x = 0$ all’istante $t = 0$ e va a velocità $+c$: legge $x = ct$. Il secondo lampo parte da $x_0 = -v\,\Delta t_{(B)}$ (lo scienziato si è spostato nel frattempo) all’istante $t_0 = \Delta t_{(B)}$, sempre a $+c$: legge $x = -v\,\Delta t_{(B)} + c\,(t - \Delta t_{(B)})$. Imponendo $x = 0$ (l’oggetto sta nell’origine di SRB) si ricavano $t_{3(B)} = 0$ e:

$t_{4(B)} = \Delta t_{(B)}\,(1 + v/c)$

Passo 3: l’intervallo di ricezione in SRB. La differenza $\Delta t'_{(B)} = t_{4(B)} - t_{3(B)}$ è, usando l’identità $\gamma(1+v/c) = \sqrt{(1+v/c)/(1-v/c)}$:

$\Delta t'_{(B)} = \Delta t_{(B)}\,(1 + v/c) = \gamma\,(1 + v/c)\,\Delta t_{(A)} = \Delta t_{(A)}\,\sqrt{\frac{1 + v/c}{1 - v/c}}$

Doppler relativistico

Se la sorgente invia segnali con intervallo proprio $\Delta t_{(A)}$ verso un oggetto che si muove con velocità $v$ (positiva se si allontana), l’oggetto li riceve con intervallo proprio $\ev{\Delta t'_{(B)} = \Delta t_{(A)}\sqrt{\frac{1 + v/c}{1 - v/c}}}$ e, per le frequenze $f = 1/\Delta t$, $\ev{f' = f\,\sqrt{\frac{1 - v/c}{1 + v/c}}}$ Con $v > 0$ (allontanamento) si ha $f' < f$: redshift. Con $v < 0$ (avvicinamento) si ha blueshift.

Perché radici quadrate?

Nell’effetto Doppler classico (per il suono) un’unica riflessione del segnale darebbe il fattore $(1+v/c)/(1-v/c)$, senza radice. L’effetto relativistico “aggiunge” la dilatazione dei tempi fra eventi cospaziali di SRA e SRB: il fattore complessivo diventa $\gamma(1+v/c) = \sqrt{(1+v/c)/(1-v/c)}$. Le radici sono il marchio di fabbrica della relatività: compaiono ogni volta che si “trascina” un intervallo temporale da un SR all’altro attraverso la formula di dilatazione.

Redshift cosmologico

Il Doppler relativistico ha una spettacolare applicazione in astrofisica: le galassie lontane emettono luce che ci arriva con un redshift (spostamento verso il rosso) tanto maggiore quanto più sono distanti. È la prova che l’universo è in espansione. Una galassia con redshift $z=1$ ha $f' = f/2$, il che implica una velocità di allontanamento $v \approx 0{,}6\,c$. Osservando redshift sempre più grandi, gli astronomi riescono a spiare l’universo com’era miliardi di anni fa.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Effetto Doppler Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski

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