Problema — Composizione per via Doppler

Testo

L’astronave $B$ va incontro alla Terra ($A$) con velocità $v_{B(A)}=0{,}6\,c$; l’astronave $C$ va incontro a $B$ con $u_{C(B)}=0{,}6\,c$ misurata da $B$. Calcola $u_{C(A)}$ con la forma moltiplicativa (prodotto dei fattori Doppler) e verifica con la forma algebrica della composizione delle velocità.

Soluzione

Metodo 1 — prodotto dei fattori Doppler. La legge di composizione in forma moltiplicativa è $\sqrt{\frac{1+u_{C(A)}/c}{1-u_{C(A)}/c}} = \sqrt{\frac{1+v_{B(A)}/c}{1-v_{B(A)}/c}}\cdot\sqrt{\frac{1+u_{C(B)}/c}{1-u_{C(B)}/c}}$ Con entrambe le velocità $=0{,}6\,c$ (avvicinamento), ogni fattore vale $\sqrt{\frac{1+0{,}6}{1-0{,}6}} = \sqrt{\frac{1{,}6}{0{,}4}} = \sqrt{4} = 2$ Quindi il fattore diretto è il prodotto: $\sqrt{\frac{1+u_{C(A)}/c}{1-u_{C(A)}/c}} = 2\cdot 2 = 4$ Elevo al quadrato e risolvo, ponendo $\beta = u_{C(A)}/c$: $\frac{1+\beta}{1-\beta} = 16 \quad\Rightarrow\quad 1+\beta = 16 - 16\beta \quad\Rightarrow\quad 17\beta = 15 \quad\Rightarrow\quad \beta = \frac{15}{17}$

$\ev{u_{C(A)} = \frac{15}{17}\,c \approx 0{,}882\,c}$

Metodo 2 — forma algebrica. Verifica con la legge di composizione: $u_{C(A)} = \frac{u_{C(B)} + v_{B(A)}}{1 + u_{C(B)}\,v_{B(A)}/c^2} = \frac{0{,}6\,c + 0{,}6\,c}{1 + 0{,}6\cdot 0{,}6} = \frac{1{,}2\,c}{1{,}36} = \frac{15}{17}\,c \approx 0{,}882\,c$

Interpretazione. I due metodi coincidono. La somma ingenua $0{,}6\,c + 0{,}6\,c = 1{,}2\,c$ supererebbe $c$; il denominatore $1{,}36$ «frena» il risultato a $0{,}882\,c$, sotto la velocità della luce come richiesto dal secondo postulato.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Composizione relativistica delle velocità · Effetto Doppler Competenze: Impostazione simbolica