Il trucco del triangolo

Nella forma moltiplicativa della composizione delle velocità compaiono velocità con segni che dipendono da chi misura cosa. Un errore frequentissimo è confondersi su quale velocità vada al numeratore e quale al denominatore di ogni fattore Doppler. Per fortuna esiste un trucco grafico che rende tutto automatico e toglie ogni ambiguità sui segni.

Il triangolo dei tre sistemi di riferimento: un vertice per ogni SR, un segmento orientato per ogni velocità (dal primo pedice al secondo). La velocità cercata $u_{C(A)}$ è il lato diretto $A \to C$.

La regola. Disegna un triangolo con un vertice per ogni sistema di riferimento e un segmento orientato per ogni velocità, sempre dal primo pedice al secondo pedice. Per comporre le velocità, parti dal vertice cercato (quello con il pedice incognito) e raggiungi l’altro in due modi diversi: direttamente, lungo il segmento incognito, oppure passando per il terzo vertice.

Ogni volta che percorri un segmento nel verso in cui è orientato, scrivi $\sqrt{(1 + \beta)/(1 - \beta)}$, dove $\beta$ è la velocità di quel segmento in unità di $c$. Ogni volta che lo percorri nel verso opposto, scrivi la radice reciproca $\sqrt{(1 - \beta)/(1 + \beta)}$. Moltiplica le due radici del percorso lungo, uguagliale alla radice del segmento diretto: hai l’equazione giusta, con tutti i segni al loro posto, senza dover ricordare a memoria alcuna convenzione. Il triangolo è la formula.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Composizione relativistica delle velocità Competenze: Cambio di sistema di riferimento

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