Dilatazione gravitazionale del tempo

Dalla sola equivalenza fra gravità e accelerazione, unita al fatto che la luce viaggia in linea retta nel sistema istantaneamente inerziale, segue subito un risultato sorprendente: nei punti dove la gravità è più intensa, gli orologi rallentano.

Un fotone emesso dal fondo della torre sale verso la cima “perdendo energia”, come farebbe un sasso: la sua frequenza diminuisce.

Ecco una versione euristica del ragionamento. Un fotone emesso dal basso verso l’alto, salendo di una quota $H$, “perde energia” esattamente come fa un sasso che sale, per conservazione dell’energia. Ma per un fotone vale $E = h f$: perdere energia significa che la frequenza $f$ diminuisce. E la frequenza non è altro che “quanti cicli al secondo”. Se al ricevitore in alto arrivano meno cicli al secondo di quanti ne emette la sorgente in basso, allora l’orologio in alto deve correre più in fretta di quello in basso. Riformulando dal punto di vista della sorgente: l’orologio in basso rallenta rispetto a quello in alto.

Redshift gravitazionale

Un fotone di frequenza $f_\text{em}$ emesso dove il potenziale gravitazionale newtoniano è $\phi_\text{em}$, arrivando dove il potenziale è $\phi_\text{ric}$, ha frequenza $\ev{\frac{f_\text{ric}}{f_\text{em}} \approx 1 + \frac{\phi_\text{ric} - \phi_\text{em}}{c^2}}$ valida per $\abs{\phi}\ll c^2$. Se il ricevitore è più in alto ($\phi_\text{ric} > \phi_\text{em}$) allora $f_\text{ric} < f_\text{em}$: la luce si sposta verso il rosso, redshift gravitazionale.

Vicino alla superficie terrestre il potenziale newtoniano è $\phi = -GM_T/R_T$, e per un dislivello $\Delta h$ vale $\Delta\phi = g\,\Delta h$. La formula si riduce così alla stima pratica $\frac{\Delta f}{f} \approx \frac{g\,\Delta h}{c^2}.$

Esperimento di Pound-Rebka

Nel 1959 Pound e Rebka misurarono il redshift gravitazionale in laboratorio (Pound e Rebka 1960). Una sorgente Mössbauer (raggi $\gamma$ da $^{57}$Fe, con $E_\gamma = 14{,}4$ keV) era posta alla base di una torre alta $H = 22{,}5$ m, un rivelatore in cima. Quanto vale lo spostamento previsto?

$\frac{\Delta f}{f} \approx \frac{gH}{c^2} = \frac{9{,}81\cdot 22{,}5}{(3\cdot 10^8)^2} \approx 2{,}45\cdot 10^{-15}.$

Un effetto minuscolo, rivelato solo grazie all’estrema precisione spettroscopica dell’effetto Mössbauer. È una conferma diretta: la gravità influenza gli orologi, in pieno accordo con la relatività generale.

I satelliti GPS

I satelliti GPS orbitano a circa $h \approx 20\,200$ km con velocità $v \approx 3{,}87$ km/s. Su di loro agiscono due effetti opposti.

• Relatività ristretta (l’orologio in volo rallenta rispetto a Terra a causa di $v$): $\Delta t_\text{RR}/t \approx -v^2/(2c^2) \approx -8{,}3\cdot 10^{-11}$, cioè circa $-7\;\mu$s al giorno.
• Relatività generale (l’orologio in alto, dove il potenziale è meno negativo, va più veloce): con $\Delta\phi = -GM/R_T + GM/(R_T+h)$ si trova $\Delta t_\text{RG}/t \approx +5{,}3\cdot 10^{-10}$, cioè circa $+45\;\mu$s al giorno.

Effetto netto: circa $+38\;\mu$s al giorno. Se non venisse corretto, in un solo giorno la posizione triangolata dal GPS scivolerebbe di $c\cdot 38\,\mu\text{s} \approx 11{,}4$ km. È il motivo per cui gli orologi atomici dei satelliti GPS vengono corretti già a Terra, prima del lancio.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Effetto Doppler Competenze: Analisi dimensionale

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