Metrica di Schwarzschild e buchi neri

Risolvendo le equazioni di Einstein nel caso più semplice possibile — il vuoto esterno a una sorgente sferica statica di massa $M$ — Karl Schwarzschild trovò nel 1916, poche settimane prima di morire al fronte, la cosiddetta metrica di Schwarzschild. Senza scrivere il tensore metrico in piena forma tensoriale, l’effetto sulla “distanza” spazio-temporale (l’invariante di Minkowski) fra due eventi vicini si riassume così:

$(\Delta\tau)^2 = \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)(\Delta t)^2 - \frac{1}{c^2\left(1 - r_s/r\right)}(\Delta r)^2 - \frac{r^2}{c^2}\Delta\Omega^2$

dove $r$ è la distanza dal centro della massa, $\Delta\Omega$ codifica le variazioni angolari, e $r_s$ è il raggio di Schwarzschild.

Raggio di Schwarzschild

Per una massa $M$ il raggio di Schwarzschild vale $\ev{r_s = \frac{2\,G\,M}{c^2}}$ È la scala caratteristica della metrica gravitazionale prodotta da $M$. Per il Sole vale circa $3$ km; per la Terra circa $9$ mm; per la massa di un essere umano ($\sim 70$ kg) circa $10^{-25}$ m, infinitesimo rispetto al diametro di un atomo.

Per $r \gg r_s$ la metrica torna piatta, indistinguibile da quella di Minkowski: le correzioni della relatività generale diventano percepibili solo vicino a oggetti molto massicci e compatti. A grande distanza la formula riproduce la dilatazione gravitazionale del tempo: un orologio fermo a distanza $r$ misura un tempo proprio $\Delta\tau \approx \sqrt{1 - r_s/r}\,\Delta t \approx \left(1 - \frac{r_s}{2r}\right)\Delta t.$ Più ci si avvicina alla massa, più $\sqrt{1-r_s/r}$ diminuisce, più $\Delta\tau$ si accorcia rispetto a $\Delta t$ (il tempo letto da un osservatore all’infinito): l’orologio rallenta.

Raggio di Schwarzschild del Sole e della Terra

Con $M_\odot = 1{,}99\cdot 10^{30}$ kg e $M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}$ kg: $r_s^\odot = \frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}99\cdot 10^{30}}{(3\cdot 10^8)^2} \approx 2{,}95\cdot 10^3\;\text{m} \approx 2{,}95\;\text{km}.$ $r_s^T = \frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{(3\cdot 10^8)^2} \approx 8{,}87\cdot 10^{-3}\;\text{m} \approx 8{,}87\;\text{mm}.$ Per diventare un buco nero, il Sole dovrebbe collassare in una sfera di circa $3$ km di raggio; la Terra in una di circa $9$ mm.

Buchi neri

Cosa succede a un oggetto così compatto che il suo raggio effettivo $r$ è minore di $r_s$? La metrica diventa singolare: il fattore $(1 - r_s/r)$ cambia segno, e tempo e spazio si “scambiano” i ruoli. La superficie $r = r_s$ prende il nome di orizzonte degli eventi: chiunque la attraversi scendendo verso il centro non può più tornare indietro, perché tutti i coni di luce puntano ormai verso $r = 0$. È ciò che chiamiamo un buco nero.

Buco nero (definizione operativa)

Un buco nero è un oggetto la cui massa $M$ è concentrata in una regione di raggio inferiore al raggio di Schwarzschild $r_s = 2GM/c^2$. La superficie $r = r_s$ è detta orizzonte degli eventi: niente, nemmeno la luce, può uscirne.

Per un osservatore esterno, un oggetto che cade in un buco nero appare rallentare mentre si avvicina a $r_s$ (il suo orologio va sempre più piano) e insieme la luce che ne arriva si sposta sempre più nel rosso, fino a spegnersi del tutto. Per l’oggetto in caduta, invece, l’attraversamento di $r_s$ è un evento perfettamente ordinario: localmente, all’orizzonte, non c’è nulla di speciale. È una delle asimmetrie più peculiari della relatività generale.

Buchi neri reali

Nel 2019 la collaborazione internazionale Event Horizon Telescope pubblicò la prima immagine “in ombra” di un buco nero, quello al centro della galassia M87 (Event Horizon Telescope Collaboration 2019): massa $\sim 6{,}5\cdot 10^9$ masse solari, $r_s\approx 2\cdot 10^{13}$ m. Nel 2022 arrivò un’immagine analoga di Sagittarius A*, al centro della Via Lattea (massa $\sim 4{,}3\cdot 10^6$ masse solari, $r_s \approx 1{,}3\cdot 10^{10}$ m). I buchi neri stellari, formati dal collasso di una stella di massa maggiore di circa $20$ masse solari, hanno $r_s \approx 30$ km; quelli supermassicci nei centri galattici vanno da $10^6$ a $10^{10}$ masse solari.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Invariante spazio-temporale · Legge di gravitazione universale

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