L'elettrone come onda stazionaria

Nel 1913 Niels Bohr propose di salvare l’atomo introducendo una regola di quantizzazione ad hoc: gli elettroni possono stare solo su certe orbite “permesse”, nelle quali — per decreto — non irraggiano. La regola funzionava benissimo per riprodurre lo spettro dell’idrogeno, ma era un postulato calato dall’alto, senza una vera ragione fisica.

La spiegazione arrivò dieci anni dopo da Louis de Broglie, con un’idea sorprendente: se la luce, che credevamo un’onda, si comporta anche come particella (il fotone), allora l’elettrone, che credevamo una particella, deve comportarsi anche come onda. A ogni elettrone di quantità di moto $p = mv$ è associata una lunghezza d’onda $\lambda = h/(mv)$. E un’onda che gira attorno al nucleo, per non cancellarsi da sola, deve “richiudersi” dopo un giro completo: deve essere un’onda stazionaria.

Principio — Onda stazionaria nell'atomo di idrogeno

Perché l’onda dell’elettrone ritorni al valore di partenza dopo aver percorso un’orbita circolare di raggio $r$, la circonferenza deve contenere un numero intero di lunghezze d’onda: $\ev{2\pi r = n\,\lambda} \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)$

L’intuizione è la stessa della corda di chitarra o dell’onda su un anello: solo alcune lunghezze d’onda “entrano” un numero intero di volte lungo il percorso chiuso. Se la circonferenza non contenesse un numero intero di $\lambda$, dopo ogni giro l’onda si troverebbe sfasata rispetto a se stessa e, sovrapponendosi giro dopo giro, si annullerebbe per interferenza distruttiva. Le uniche orbite che “sopravvivono” sono quelle in cui l’onda si aggancia perfettamente alla propria coda.

L’onda dell’elettrone come onda stazionaria su un’orbita circolare: qui $n=4$ lunghezze d’onda si richiudono esattamente lungo la circonferenza. Solo per un numero intero di lunghezze d’onda l’onda si “ritrova” dopo un giro.

Dalla condizione d’onda alla quantizzazione del momento angolare. La forza di questa idea è che, combinando la condizione di richiusura con la relazione di de Broglie $\lambda = h/(mv)$, la regola ad hoc di Bohr si trasforma in una conseguenza:

$2\pi r = n\cdot\frac{h}{m\,v} \quad\Longleftrightarrow\quad \ev{m\,v\,r = n\,\hbar}$

dove $\hbar = h/(2\pi)$. Il primo membro, $mvr$, è proprio il momento angolare dell’elettrone nell’orbita. Il risultato dice quindi che il momento angolare non può assumere un valore qualsiasi: è sempre un multiplo intero di $\hbar$. Ecco, ricavata e non postulata, la regola di quantizzazione di Bohr — nata dal semplice richiedere che l’elettrone-onda si richiuda su se stesso.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Modello di Bohr · Lunghezza d’onda di de Broglie · Onde stazionarie · Momento angolare · Dualismo onda-particella Oggetti: Atomo di idrogeno

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