Il viaggio di Carlo

Testo

Carlo al tempo $t = 4\;\text{s}$ si trova al km 2 e viaggia a $6\;\text{m/s}$. Accelera per $4\;\text{s}$ con $a = 3\;\text{m/s}^2$, poi prosegue a velocità costante per $100\;\text{m}$, infine frena fermandosi in $500\;\text{m}$. Determina tutti gli eventi.

Soluzione

Impostazione. Scegliamo l’asse $s$ orientato nel verso del moto, con l’origine dei tempi e delle posizioni fissata dai dati iniziali. Il moto si compone di 3 tratti e 4 eventi (A, B, C, D):

• Tratto A$\to$B: moto uniformemente accelerato ($a = 3\;\text{m/s}^2$) per $4\;\text{s}$;
• Tratto B$\to$C: moto uniforme ($a = 0$) per $100\;\text{m}$;
• Tratto C$\to$D: frenata fino all’arresto in $500\;\text{m}$.

Conviene organizzare i dati in una tabella degli eventi, riempiendola tratto per tratto:

Evento	$t$ (s)	$s$ (m)	$v$ (m/s)	$a$ (m/s²)
A	$4$	$2000$	$6$
				$3$
B	$8$	$2048$	$18$
				$0$
C	$13{,}56$	$2148$	$18$
				$-0{,}324$
D	$69{,}1$	$2648$	$0$

Tratto A$\to$B (accelerazione). La velocità finale e la posizione finale valgono:

$\begin{aligned} v_B &= v_A + a\,(t_B - t_A) = 6 + 3\cdot 4 = 18\;\text{m/s} \\ s_B &= s_A + v_A\cdot 4 + \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4^2 = 2000 + 24 + 24 = 2048\;\text{m} \end{aligned}$

Tratto B$\to$C (velocità costante, $a = 0$). Il tempo per percorrere i $100\;\text{m}$ è:

$t_C = t_B + \frac{\Delta s}{v_B} = 8 + \frac{100}{18} \approx 13{,}56\;\text{s} \qquad s_C = 2048 + 100 = 2148\;\text{m}$

Tratto C$\to$D (frenata, $v_D = 0$, $\Delta s = 500\;\text{m}$). Ricaviamo l’accelerazione dalla relazione senza tempo:

$v_D^2 - v_C^2 = 2a\,\Delta s \quad\Rightarrow\quad 0 - 18^2 = 2a\cdot 500 \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{324}{1000} = -0{,}324\;\text{m/s}^2$

Infine il tempo di arresto e la posizione finale:

$t_D = t_C + \frac{v_D - v_C}{a} = 13{,}56 + \frac{0 - 18}{-0{,}324} \approx 69{,}1\;\text{s} \qquad s_D = 2148 + 500 = 2648\;\text{m}$

$\ev{t_D \approx 69{,}1\;\mathrm{s}, \quad s_D = 2648\;\mathrm{m}, \quad v_D = 0}$

Collegamenti

Argomenti: Cinematica Concetti: Moto uniformemente accelerato Competenze: Scelta degli assi · Lettura dei grafici