Esercizio svolto — Elio in un camion che frena

Testo

Un camion trasporta una bombola rigida, termicamente isolata, contenente $n = 10$ mol di gas elio (monoatomico, $f=3$) alla temperatura iniziale $T_i = 300$ K. Il camion viaggia a $v = 100$ m/s quando, all’improvviso, frena bruscamente e si ferma. Di quanto è cambiata la temperatura del gas?

Soluzione

Quando il camion si ferma, la bombola si ferma con esso, ma le molecole del gas continuano a muoversi col loro moto termico più il moto di trascinamento che avevano prima ($v = 100$ m/s). Poiché la bombola è isolata (niente calore) e rigida (niente lavoro), questa energia cinetica macroscopica si converte in energia interna del gas: la temperatura sale.

Massa totale del gas (massa molare elio $M_\text{He}=4$ g/mol): $M = n\, M_\text{He} = 10\cdot 4\cdot 10^{-3} = 0{,}04\ \text{kg}$ Energia cinetica macroscopica iniziale del gas trascinato: $K_\text{macro} = \tfrac{1}{2}Mv^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}04\cdot 100^2 = 200\ \text{J}$ Tutta questa energia diventa incremento di energia interna (gas monoatomico, $f=3$): $\Delta E_\text{int} = \tfrac{3}{2}nR\,\Delta T = K_\text{macro} = 200\ \text{J}$ Ricavo $\Delta T$: $\Delta T = \frac{2\,K_\text{macro}}{3nR} = \frac{2\cdot 200}{3\cdot 10\cdot 8{,}31} \approx 1{,}6\ \text{K}$ La temperatura sale di meno di due gradi: la frenata è un riscaldamento quasi impercettibile. È lo stesso principio per cui i freni di un’auto si scaldano: energia cinetica macroscopica → energia cinetica microscopica delle molecole. $\ev{\Delta T \approx 1{,}6\ \text{K}}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Energia interna · Temperatura Competenze: Interpretazione micro-macro