Riscaldamento a pressione costante: il coefficiente Cp

Combinando il bilancio energetico con il lavoro dell’atmosfera si ricava un risultato importante: la capacità termica a pressione costante $C_p$, e la sua relazione con quella a volume costante $C_v$.

Principio — Calore specifico a pressione costante

Se un gas ideale viene riscaldato mantenendo la pressione costante (= atmosferica, grazie a un pistone libero), il calore necessario è $\ev{Q = n\,C_p\,(T_B - T_A)}$ con $C_p = C_v + R = \frac{f+2}{2}R$ (relazione di Mayer).

Derivazione. A pressione costante la legge dei gas dà $V/T =$ costante, quindi la dilatazione è

$V_B - V_A = \frac{nR}{P}(T_B - T_A)$

Il lavoro dell’atmosfera (che viene compressa) è

$L_\text{atm} = -P\,\Delta V_\text{gas} = -nR(T_B - T_A)$

Sostituendo nel primo principio $\Delta E_\text{int} = Q + L_\text{atm}$:

$\frac{f}{2}nR(T_B-T_A) = Q - nR(T_B - T_A)$

Isolando $Q$:

$Q = \left(\frac{f}{2} + 1\right)nR(T_B - T_A) = \frac{f+2}{2}nR(T_B - T_A)$

Riepilogo — Cv e Cp

$\ev{C_v = \frac{f}{2}R \qquad C_p = \frac{f+2}{2}R = C_v + R}$ $C_p > C_v$: a pressione costante servono più joule perché una parte del calore va nel lavoro contro l’atmosfera, non nell’energia interna. La differenza $C_p - C_v = R$ è esattamente il lavoro molare compiuto per ogni kelvin di riscaldamento.

Collegamenti

Argomenti: Termodinamica Concetti: Primo principio della termodinamica · Trasformazioni termodinamiche · Calore specifico e capacità termica · Legge dei gas perfetti Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Gas ideale · Pistone e cilindro

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