Fantafisica: Coulomb 1 su r cubo

Fantafisica: legge di Coulomb $1/r^3$. Immagina che la forza di Coulomb decadesse come $1/r^3$ invece di $1/r^2$. Cosa cambierebbe per: (a) l'atomo di idrogeno, (b) il condensatore piano, (c) la stabilità della materia ordinaria e la validità del teorema di Gauss?

Soluzione

Premessa. Supponiamo $F \propto 1/r^3$ (e quindi il campo $E \propto 1/r^3$). Cambia la “ripidità” con cui l’interazione svanisce con la distanza: molto più rapida da lontano, molto più intensa da vicino.

(a) Atomo di idrogeno — instabilità. Con la legge $1/r^2$ l’elettrone trova orbite stabili perché l’attrazione decresce “dolcemente”. Con $1/r^3$ la forza cresce troppo in fretta quando l’elettrone si avvicina: non esiste un equilibrio stabile fra attrazione e forza centrifuga. Un elettrone spinto un po’ verso l’interno viene attratto sempre di più e collassa sul nucleo; uno spinto un po’ all’esterno sfugge. L’atomo risulta instabile. (In generale le orbite chiuse stabili esistono solo per potenziali del tipo $1/r$ o armonico — teorema di Bertrand.)

(b) Condensatore piano — campo non uniforme. Con la legge ordinaria un piano infinito carico genera un campo uniforme, indipendente dalla distanza: è ciò che rende il condensatore piano così utile. Con $1/r^3$ i contributi degli elementi di carica del piano non si combinano più in un campo costante: il campo dipenderebbe dalla distanza dalle armature e non sarebbe più uniforme. La relazione lineare $V = E\,d$ e la semplice formula della capacità verrebbero meno.

(c) Materia ordinaria e teorema di Gauss. Il teorema di Gauss, $\Phi(\vv{E}) = Q_\text{int}/\varepsilon_0$, funziona proprio grazie alla legge dell’inverso del quadrato: solo con $E \propto 1/r^2$ la crescita della superficie sferica ($\propto r^2$) compensa esattamente la diminuzione del campo, rendendo il flusso indipendente dal raggio. Con $E \propto 1/r^3$ il flusso attraverso una sfera diventerebbe $\propto 1/r$: il teorema di Gauss non varrebbe più nella sua forma semplice. Verrebbe a mancare il pilastro che garantisce la disposizione della carica sui conduttori, la schermatura e, in ultima analisi, la stabilità e la struttura della materia ordinaria come la conosciamo.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Legge di Coulomb · Teorema di Gauss · Campo elettrico Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss Oggetti: Atomo di idrogeno