Esercizio svolto — spira che entra ed esce da un campo

Testo

Una spira rettangolare di lati $a=3\ \text{m}$ e $b=2\ \text{m}$, con resistenza $R=3\ \Omega$, si muove con velocità costante $v=2\ \text{m/s}$ verso destra. A $t=0$ la spira si trova a $2\ \text{m}$ dal bordo sinistro di una regione larga $6\ \text{m}$ in cui è presente un campo uniforme $B=5\ \text{T}$ uscente dalla pagina. Studia il flusso magnetico, la corrente indotta e la forza sulla spira in funzione del tempo.

Spira che si avvicina alla regione di campo, muovendosi verso destra con velocità $\vv{v}$.

Soluzione

Il lato utile per il flusso è $b=2\ \text{m}$ (altezza della spira). Il bordo destro della spira parte a $2\ \text{m}$ dalla regione di campo, il bordo sinistro a $2+3=5\ \text{m}$. La regione è larga $6\ \text{m}$. Analizziamo cinque fasi.

Fase 1 — $0\le t<1\ \text{s}$ (spira fuori): nessuna parte è immersa nel campo. $\Phi_B=0,\qquad \text{fem}=0,\qquad i=0$

Fase 2 — $1\le t<2{,}5\ \text{s}$ (la spira entra): la porzione immersa ha larghezza $v(t-1)$, quindi il flusso cresce linearmente. $\Phi_B=B\,b\,v\,(t-1),\qquad \text{fem}=-\ddt{\Phi_B}=-B\,b\,v=-5\cdot 2\cdot 2=-20\ \text{V}$ $i=\frac{\abs{\text{fem}}}{R}=\frac{20}{3}\approx 6{,}7\ \text{A}$

Fase 3 — $2{,}5\le t<3\ \text{s}$ (spira interamente dentro): il flusso è costante e massimo. $\Phi_B=B\,b\,a=5\cdot 2\cdot 3=30\ \text{Wb},\qquad \text{fem}=0,\qquad i=0$

Fase 4 — $3\le t<4{,}5\ \text{s}$ (la spira esce): il flusso decresce linearmente, la fem cambia segno e la corrente scorre in verso opposto. $\text{fem}=+B\,b\,v=+20\ \text{V},\qquad i=\frac{20}{3}\approx 6{,}7\ \text{A}\ \text{(verso opposto)}$

Fase 5 — $t\ge 4{,}5\ \text{s}$ (spira fuori): $\Phi_B=0,\qquad i=0$

Forza (attrito magnetico). Durante ingresso e uscita, sul lato immerso percorso da corrente agisce la forza di Laplace: $\abs{F}=i\,b\,B=\frac{20}{3}\cdot 2\cdot 5\approx 66{,}7\ \text{N}$ Per la legge di Lenz questa forza si oppone sempre al moto della spira: agisce come un “attrito magnetico” che frena il moto relativo. Il lavoro che occorre fare contro di essa viene dissipato in $R$ per effetto Joule ($P=Ri^2$). L’attrito magnetico esiste solo finché il flusso cambia: quando la spira è ferma o interamente dentro/fuori, esso scompare.

$\ev{\abs{\text{fem}}=B\,b\,v=20\ \text{V},\quad i=\tfrac{20}{3}\approx 6{,}7\ \text{A},\quad \abs{F}=i\,b\,B\approx 66{,}7\ \text{N}}$

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Legge di Lenz · Forza di Laplace · Effetto Joule Competenze: Bilancio di flusso