Problema — Un semaforo rosso visto verde

Testo

Un semaforo emette luce rossa a $\lambda=700$ nm. A che velocità deve muoversi un automobilista verso il semaforo per vederlo verde ($\lambda'=450$ nm)? Usa il Doppler relativistico longitudinale.

Soluzione

Formula del Doppler longitudinale in avvicinamento. Avvicinandosi alla sorgente la luce è spostata verso il blu (lunghezza d’onda più corta, $\lambda' < \lambda$). Con $\beta = v/c$: $\frac{\lambda'}{\lambda} = \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}$

Impostazione numerica. Il rapporto osservato è $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{450}{700} = 0{,}643$ Elevando al quadrato: $\frac{1-\beta}{1+\beta} = \left(\frac{450}{700}\right)^2 = 0{,}413$

Risoluzione per $\beta$. Moltiplico in croce: $1-\beta = 0{,}413\,(1+\beta)$, quindi $1 - \beta = 0{,}413 + 0{,}413\,\beta$, da cui $1 - 0{,}413 = \beta\,(1 + 0{,}413) \quad\Rightarrow\quad \beta = \frac{0{,}587}{1{,}413} \approx 0{,}42$

Velocità. $v = \beta\,c \approx 0{,}42\cdot 3\cdot 10^8\ \text{m/s}$

$\ev{v \approx 0{,}42\,c \approx 1{,}26\cdot 10^8\ \text{m/s}}$

Interpretazione. Servono circa $126\,000$ km/s (oltre 400 milioni di km/h) per far diventare verde un semaforo rosso: nessuna multa per eccesso di velocità potrebbe mai giustificare la scusa «l’ho visto verde per effetto Doppler».

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Effetto Doppler Competenze: Impostazione simbolica