Composizione relativistica delle velocità

Abbiamo accennato più volte che la composizione galileiana $\vec{v}_{AC} = \vec{v}_{AB} + \vec{v}_{BC}$ non funziona a velocità relativistiche: due velocità sommate devono restare sotto $c$, mentre Galileo non lo garantisce affatto. La cosa notevole è che la formula corretta si ricava con lo stesso ingrediente usato per l’effetto Doppler: uno scienziato che spara segnali di luce e ragiona per eventi.

Consideriamo tre sistemi di riferimento allineati lungo una stessa retta. SRA è il laboratorio dello scienziato che emette segnali; SRB è solidale a un oggetto $B$ che si muove a velocità $v_{B(A)}$ rispetto a SRA; SRC è solidale a un secondo oggetto $C$ che si muove a velocità $u_{C(B)}$ rispetto a SRB e $u_{C(A)}$ rispetto a SRA. Lo scienziato spara due lampi di luce a distanza $\Delta t_{(A)}$ l’uno dall’altro, e noi li seguiamo attraverso i tre sistemi.

Arrivo a $B$. Dall’analisi dell’effetto Doppler sappiamo che $B$ riceve i due lampi con intervallo

$\Delta t'_{(B)} = \Delta t_{(A)}\,\sqrt{\frac{1 + v_{B(A)}/c}{1 - v_{B(A)}/c}}$

$B$ li rilancia a $C$. Immaginiamo che $B$, appena li riceve, li “giri” a $C$. L’intervallo con cui $B$ li emette verso $C$ coincide, in SRB, con l’intervallo con cui li ha ricevuti: $\Delta t_{(B)}^\text{emiss} = \Delta t'_{(B)}$. Applicando di nuovo la formula Doppler, stavolta tra SRB e SRC:

$\Delta t'_{(C)} = \Delta t'_{(B)}\,\sqrt{\frac{1 + u_{C(B)}/c}{1 - u_{C(B)}/c}}$

Collegamento diretto $A \to C$. Ma gli stessi lampi, guardati direttamente con la velocità $u_{C(A)}$ di $C$ rispetto ad $A$, obbediscono ancora a Doppler:

$\Delta t'_{(C)} = \Delta t_{(A)}\,\sqrt{\frac{1 + u_{C(A)}/c}{1 - u_{C(A)}/c}}$

Uguagliando le due espressioni per $\Delta t'_{(C)}$ e semplificando il fattore comune $\Delta t_{(A)}$ si ottiene la legge di composizione delle velocità in forma moltiplicativa: due fattori Doppler si compongono in un terzo.

$\ev{\sqrt{\frac{1 + u_{C(A)}/c}{1 - u_{C(A)}/c}} = \sqrt{\frac{1 + v_{B(A)}/c}{1 - v_{B(A)}/c}}\cdot \sqrt{\frac{1 + u_{C(B)}/c}{1 - u_{C(B)}/c}}}$

Elevando al quadrato e risolvendo per $u_{C(A)}$ si ritrova la forma più familiare, quella che di solito si incontra sui libri:

$\ev{u_{C(A)} = \frac{u_{C(B)} + v_{B(A)}}{1 + u_{C(B)}\,v_{B(A)}/c^2}}$

Principio — Composizione relativistica (1D)

Se $C$ ha velocità $u'$ in SRB e SRB si muove a velocità $v$ rispetto a SRA, la velocità di $C$ in SRA è $\ev{u = \frac{u' + v}{1 + u'\,v/c^2}}$

Il pregio di questa formula è che si comporta bene in entrambi i regimi che ci interessano. Per $u', v \ll c$ il prodotto $u'v/c^2$ è minuscolo, il denominatore tende a $1$ e si riottiene la buona vecchia legge di Galileo $u \approx u' + v$: le velocità di tutti i giorni si sommano come sempre. All’altro estremo, per $u' = c$ il denominatore diventa $1 + v/c$ e

$u = \frac{c + v}{1 + v/c} = c$

la luce resta $c$ in ogni sistema di riferimento, come richiesto dal secondo postulato — del resto nella derivazione stessa di Doppler avevamo imposto $c$ uguale in SRA e in SRB. È il denominatore $1 + u'v/c^2 > 1$ a frenare automaticamente il risultato: $c$ funziona come un asintoto invalicabile, e due velocità entrambe vicine a $c$ si sommano in qualcosa di ancora vicino a $c$, mai oltre.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Composizione relativistica delle velocità Competenze: Cambio di sistema di riferimento

Esercizi collegati: Problema — Composizione per via Doppler · Esercizio svolto — Condor contro razzo · Problema — Composizione di velocità (elettrone)