Problema — Temperatura di fuga dell'idrogeno

Testo

A quale temperatura la velocità quadratica media di una molecola di idrogeno ($m_\text{mol} = 2\cdot 10^{-3}$ kg/mol) raggiungerebbe la velocità di fuga dalla superficie terrestre, $v_\text{fuga}\approx 1{,}12\cdot 10^4$ m/s? Commenta il risultato in relazione alla scarsità di idrogeno nell’atmosfera terrestre.

Soluzione

Impongo che la velocità quadratica media eguagli la velocità di fuga: $v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{m_\text{mol}}} = v_\text{fuga}$ Elevo al quadrato e ricavo $T$: $T = \frac{m_\text{mol}\,v_\text{fuga}^2}{3R}$ Sostituisco i valori numerici: $T = \frac{2\cdot 10^{-3}\cdot (1{,}12\cdot 10^{4})^2}{3\cdot 8{,}31}$ $T = \frac{2\cdot 10^{-3}\cdot 1{,}25\cdot 10^{8}}{24{,}9} \approx 1{,}0\cdot 10^{4}\ \text{K}$ Commento. Servirebbero circa $10\,000$ K perché la media delle molecole di idrogeno raggiunga la velocità di fuga: l’atmosfera è molto più fredda (~$300$ K). Tuttavia la distribuzione di Maxwell–Boltzmann ha una coda ad alte velocità: essendo l’idrogeno leggerissimo, una frazione non trascurabile delle sue molecole supera comunque $v_\text{fuga}$ e sfugge nello spazio nel corso delle ere geologiche. Per questo l’idrogeno libero è raro nell’atmosfera terrestre, mentre azoto e ossigeno, molto più pesanti, restano intrappolati. $\ev{T \approx 1{,}0\cdot 10^{4}\ \text{K}}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Velocità quadratica media · Temperatura Competenze: Impostazione simbolica