Il teorema di Ampère

Il campo magnetico prodotto da un filo si può derivare da un teorema generale, analogo al teorema di Gauss ma applicato a un percorso chiuso invece che a una superficie.

Legge — Teorema di Ampère

La circuitazione di $\vec{B}$ lungo un percorso chiuso è proporzionale alla corrente totale concatenata: $\ev{\Gamma_B = \oint \vec{B}\cdot \dd\vec{s} = \mu_0\,i_\text{concatenata}}$

“Concatenata” significa: la somma delle correnti che attraversano una qualsiasi superficie che ha il percorso come bordo. La potenza del teorema, come per Gauss in elettrostatica, sta nel fatto che quando c’è simmetria la circuitazione si calcola senza integrare: $\vec{B}$ è costante lungo il percorso scelto e si porta fuori dal segno di integrale.

Derivazione — Il campo del filo da Ampère

Scegliendo come percorso un cerchio di raggio $r$ centrato sul filo, per simmetria $|\vec{B}|$ è costante lungo il cerchio e tangente ad esso, quindi $\Gamma_B = 2\pi r\,|\vec{B}|$. Il teorema impone $2\pi r\,|\vec{B}| = \mu_0 i \quad\Longrightarrow\quad |\vec{B}| = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ Si ritrova esattamente il campo del filo rettilineo, ora dimostrato invece che postulato.

Il teorema di Ampère è lo strumento chiave per calcolare il campo di configurazioni simmetriche: filo, cavo coassiale, lamina piana, solenoide e toroide. Nella sua forma completa, con l’aggiunta della corrente di spostamento di Maxwell, diventerà una delle quattro equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Teorema di Ampère Competenze: Analisi dimensionale

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