Il signor Rossi va a teatro

Testo

Il signor Rossi parte da casa a $t=0$ e ha un appuntamento al teatro, che dista $10$~sl da casa, alle ore $t=20$~s. (1) A che velocità deve viaggiare di moto rettilineo uniforme per arrivare puntuale? (2) E per arrivare in anticipo di $5$~s? (3) In entrambi i casi, quanto tempo proprio scorre sul suo orologio?

Soluzione

Unità naturali $c=1$. La distanza è $L=10$~sl.

(1) Velocità per arrivare puntuale. Deve coprire $L=10$~sl nel tempo di laboratorio $t=20$~s: $v_1=\frac{L}{t}=\frac{10}{20}=0{,}5 \;\Rightarrow\; \ev{v_1=0{,}5\,c}$

(2) Velocità per arrivare in anticipo di 5 s. Ora il tempo disponibile è $t'=20-5=15$~s: $v_2=\frac{L}{t'}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3} \;\Rightarrow\; \ev{v_2=\tfrac{2}{3}\,c\approx 0{,}67\,c}$

(3) Tempo proprio. Sull’orologio di Rossi scorre il tempo proprio $\Delta\tau=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}$ (l’invariante fra partenza e arrivo, con $\Delta s=L=10$~sl): $\Delta\tau_1=\sqrt{20^2-10^2}=\sqrt{400-100}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\approx 17{,}3\ \text{s}$ $\Delta\tau_2=\sqrt{15^2-10^2}=\sqrt{225-100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\approx 11{,}2\ \text{s}$ $\ev{\Delta\tau_1\approx 17{,}3\ \text{s}\qquad \Delta\tau_2\approx 11{,}2\ \text{s}}$ Andando più veloce (per arrivare in anticipo) il tempo proprio si accorcia: è la dilatazione dei tempi vista dal punto di vista del viaggiatore.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi · Invariante spazio-temporale Competenze: Impostazione simbolica Metodi: Unità naturali