Consumo di idrogeno del Sole

Testo

Il Sole irradia una potenza $L \approx 3{,}8 \cdot 10^{26}\ \text{W}$ prodotta dal ciclo protone-protone, che converte idrogeno in elio secondo lo schema $4\,^{1}\text{H} \to\ ^{4}\text{He}$, con energia rilasciata $Q \approx 26\ \text{MeV}$ per ciclo. Stima (a) i chilogrammi di idrogeno consumati ogni secondo e (b) in quanti anni il Sole esaurirà l’idrogeno presente nel suo nucleo, sapendo che $M_{\text{nucleo}} \approx 10\%$ di $M_{\odot} \approx 2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$. Usa $1\ \text{MeV} = 1{,}6 \cdot 10^{-13}\ \text{J}$, $m_p \approx 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$, $1\ \text{anno} \approx 3{,}156 \cdot 10^{7}\ \text{s}$.

Soluzione

Energia per ciclo. Ogni ciclo consuma 4 protoni e libera $Q = 26\ \text{MeV}$:

$Q = 26 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-13}\ \text{J} = 4{,}16 \cdot 10^{-12}\ \text{J}$

(a) Idrogeno consumato al secondo. Il numero di cicli al secondo si ottiene dividendo la potenza per l’energia di un ciclo:

$\frac{\text{cicli}}{\text{s}} = \frac{L}{Q} = \frac{3{,}8 \cdot 10^{26}}{4{,}16 \cdot 10^{-12}} \approx 9{,}1 \cdot 10^{37}\ \text{s}^{-1}$

Ogni ciclo brucia 4 protoni, ciascuno di massa $m_p$, quindi la massa di idrogeno consumata al secondo è:

$\frac{\dd m}{\dd t} = 9{,}1 \cdot 10^{37} \cdot 4 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg} \approx 6 \cdot 10^{11}\ \text{kg/s}$

$\ev{\frac{\dd m}{\dd t} \approx 6 \cdot 10^{11}\ \text{kg/s} \sim 10^{12}\ \text{kg/s}}$

(b) Tempo di esaurimento. La massa di idrogeno disponibile nel nucleo è:

$M_{\text{nucleo}} = 0{,}1 \cdot 2 \cdot 10^{30} = 2 \cdot 10^{29}\ \text{kg}$

Il tempo si ottiene dividendo per il ritmo di consumo:

$t = \frac{M_{\text{nucleo}}}{\dd m/\dd t} = \frac{2 \cdot 10^{29}}{6 \cdot 10^{11}} \approx 3{,}3 \cdot 10^{17}\ \text{s}$

Convertendo in anni:

$t = \frac{3{,}3 \cdot 10^{17}}{3{,}156 \cdot 10^{7}} \approx 1 \cdot 10^{10}\ \text{anni} \quad\Rightarrow\quad \ev{t \sim 10^{10}\ \text{anni}}$

Il risultato è dello stesso ordine di grandezza della vita residua stimata del Sole ($\sim 5$ miliardi di anni): la stima di Fermi coglie correttamente la scala temporale.

Collegamenti

Argomenti: Fisica nucleare Concetti: Fusione nucleare · Equivalenza massa-energia Competenze: Stime di Fermi