Grandezze fisiche, stime, equilibrio

Prima di affrontare il moto e le forze conviene prendere confidenza con gli strumenti di base del fisico: le grandezze fisiche, le unità di misura, le stime degli ordini di grandezza, i vettori e i primi concetti di forza ed equilibrio. Questo capitolo introduttivo funziona da ripasso del primo biennio: molti temi torneranno con più formalismo nei capitoli successivi. Chiude con la statica dei fluidi (pressione, Stevino, Pascal, Archimede) e una pillola di fluidodinamica.

Da Aristotele a Galileo: la fisica come "filosofia naturale"

La fisica parte da domande — che cos’è? come è fatto? come funziona? perché? Nell’antichità questi interrogativi erano parte della filosofia naturale: da Aristotele in poi, per secoli il metodo prevalente fu “pensare e dedurre”. Fu Galileo, all’inizio del Seicento, a cambiare le regole del gioco: le risposte sulla natura devono essere oggettive (tutti gli osservatori devono concordare, il risultato non deve dipendere da chi pone la domanda). Per renderle tali servono la misurazione e la matematica. Come scrisse Galileo, il libro della natura “è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche” (Il Saggiatore, 1623). Ogni affermazione è una misura, ogni legge è un’equazione.

La fisica come caccia al tesoro

Un problema di fisica assomiglia a una caccia al tesoro: c’è un punto di partenza, il tesoro, e un territorio da esplorare in mezzo. Sei strumenti mentali guidano ogni esercizio del sito:

• Attraccare — leggere bene il testo (dati, unità, ipotesi implicite: oltre metà degli errori nasce qui).
• Equipaggiamento — elencare formule, leggi e concetti che potrebbero servire.
• Il tesoro — identificare con precisione la grandezza da trovare.
• Costruire nuovi utensili — introdurre un sistema di riferimento, una variabile ausiliaria, un diagramma.
• Specializzare (analisi) — esaminare un pezzetto di problema, un caso particolare.
• Generalizzare (sintesi) — chiedersi se il risultato rientra in un pattern più grande.

E due voci ti accompagnano sempre: il nemico interiore (l’avvocato del diavolo, “ma sei sicuro?”) e il bambino ingenuo (che fa le domande apparentemente stupide, ma spesso smaschera le convinzioni sbagliate).

Sezioni

• Grandezze fisiche e unità di misura
• Stime di Fermi
• Trigonometria e misurazioni indirette
• Grandezze scalari e vettoriali
• Vettori: operazioni e componenti
• Le forze come vettori
• Equilibrio statico
• Fluidostatica: pressione e leggi fondamentali
• Il principio di Archimede
• Cenni di fluidodinamica

Riflessioni

• Che cosa vuol dire misurare?

Esercizi

• Raccolta di esercizi svolti e problemi

Before tackling motion and forces, it is worth getting comfortable with the physicist’s basic tools: physical quantities, units of measurement, order-of-magnitude estimates, vectors and the first concepts of force and equilibrium. This introductory chapter serves as a review of the first two years of secondary school: many topics will return with more formalism in later chapters. It closes with fluid statics (pressure, Stevin’s law, Pascal, Archimedes) and a taste of fluid dynamics.

From Aristotle to Galileo: physics as "natural philosophy"

Physics starts from questions — what is it? what is it made of? how does it work? why? In antiquity these questions were part of natural philosophy: from Aristotle onwards, for centuries the prevailing method was “think and deduce”. It was Galileo, at the start of the seventeenth century, who changed the rules of the game: answers about nature must be objective (all observers must agree, the result must not depend on who asks the question). Achieving this requires measurement and mathematics. As Galileo wrote, the book of nature “is written in the language of mathematics, and its characters are triangles, circles, and other geometric figures” (Il Saggiatore, 1623). Every statement is a measurement, every law is an equation.

Physics as a treasure hunt

A physics problem resembles a treasure hunt: there is a starting point, the treasure, and territory to explore in between. Six mental tools guide every exercise on the site:

• Dock — read the text carefully (data, units, implicit assumptions: more than half of all errors originate here).
• Equipment — list the formulae, laws and concepts that might be useful.
• The treasure — precisely identify the quantity to be found.
• Build new tools — introduce a reference frame, an auxiliary variable, a diagram.
• Specialise (analysis) — examine a small piece of the problem, a particular case.
• Generalise (synthesis) — ask whether the result fits into a bigger pattern.

And two voices always accompany you: the inner enemy (the devil’s advocate, “but are you sure?”) and the naive child (who asks apparently stupid questions, but often exposes mistaken assumptions).

Sections

• Physical quantities and units of measurement
• Fermi estimates
• Trigonometry and indirect measurements
• Scalar and vector quantities
• Vectors: operations and components
• Forces as vectors
• Static equilibrium
• Fluid statics: pressure and fundamental laws
• Archimedes’ principle
• An introduction to fluid dynamics

Reflections

• What does it mean to measure?

Exercises

• Collection of worked exercises and problems

Un problema di Fermi è una stima rapida dell’ordine di grandezza di una quantità, spesso ottenuta partendo da pochissimi dati o addirittura solo dal senso comune. L’idea è scomporre una domanda apparentemente impossibile in una catena di stime più semplici, ciascuna delle quali possiamo azzardare con ragionevolezza, e poi combinarle. Il fisico Enrico Fermi era celebre per queste stime “al volo”, tanto che oggi portano il suo nome.

Contesto storico — Fermi e la bomba atomica di Alamogordo

Il 16 luglio 1945, durante il primo test atomico (Trinity) nel deserto del New Mexico, Enrico Fermi lasciò cadere alcuni pezzetti di carta subito dopo l’esplosione. Osservando di quanto li spinse via il fronte d’onda, stimò sul posto la potenza della bomba in circa 10 kilotoni: una stima straordinariamente vicina al valore vero (18 kilotoni). Aveva usato solo carta e un cronometro mentale (Rhodes 1986, cap. 8; vedi Riferimenti bibliografici).

Quanti accordatori di pianoforte ci sono a Milano?

È il classico problema di Fermi. Non conosciamo la risposta, ma possiamo stimarla per passi successivi:

• Abitanti di Milano: $\sim 10^6$
• Pianoforti in città: circa 1 ogni 100 famiglie, cioè $\sim 10^4$
• Accordature che un accordatore fa in un anno: $\sim 10^3$
• Numero di accordatori: $10^4 / 10^3 \approx 10$

Il risultato è dell’ordine di 10: potrebbero essere 5 o 20, ma di certo non 1 né 100. Ed è proprio questo che ci interessa, l’ordine di grandezza.

Perché le stime di Fermi funzionano?

L’idea è che, quando si combinano più quantità con un prodotto o una divisione, gli errori relativi tendono a compensarsi. Se sottostimi un fattore del 30 % e ne sovrastimi un altro del 30 %, il risultato finale resta circa corretto. Per questo la stima dell’ordine di grandezza di solito “azzecca” il valore vero a meno di un fattore 10, e spesso molto meglio.

▶Quanto è pericoloso un centesimo lanciato da un grattacielo? — Veritasium

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Stime di Fermi

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A Fermi problem is a quick estimate of the order of magnitude of a quantity, often obtained starting from very little data, or even just common sense. The idea is to break down an apparently impossible question into a chain of simpler estimates, each of which we can reasonably guess, and then combine them. The physicist Enrico Fermi was famous for these “on the fly” estimates, so much so that they now bear his name.

Historical context — Fermi and the Alamogordo atomic bomb

On 16 July 1945, during the first atomic test (Trinity) in the New Mexico desert, Enrico Fermi dropped a few scraps of paper right after the explosion. By observing how far the shock wave pushed them, he estimated the bomb’s yield on the spot at about 10 kilotons: a remarkably close estimate to the true value (18 kilotons). He had used only paper and a mental stopwatch (Rhodes 1986, ch. 8; see Riferimenti bibliografici).

How many piano tuners are there in Milan?

This is the classic Fermi problem. We do not know the answer, but we can estimate it step by step:

• Inhabitants of Milan: $\sim 10^6$
• Pianos in the city: roughly 1 per 100 households, i.e. $\sim 10^4$
• Tunings a tuner does in a year: $\sim 10^3$
• Number of tuners: $10^4 / 10^3 \approx 10$

The result is of the order of 10: it could be 5 or 20, but certainly not 1 nor 100. And that is exactly what interests us — the order of magnitude.

Why do Fermi estimates work?

The idea is that, when several quantities are combined by multiplication or division, the relative errors tend to cancel out. If you underestimate one factor by 30% and overestimate another by 30%, the final result remains roughly correct. This is why the order-of-magnitude estimate usually “hits” the true value to within a factor of 10, and often much better.

▶How Dangerous is a Penny Dropped From a Skyscraper? — Veritasium

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Topics: Physical quantities and measurement Skills: Fermi Estimates

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Molte grandezze non si possono misurare direttamente: l’altezza della Torre Eiffel, la distanza di una nave all’orizzonte, l’angolo del Sole sopra l’orizzonte. Si possono però calcolare usando la trigonometria: basta misurare qualcosa di più facile — l’ombra di un oggetto, una distanza al suolo, un angolo con un inclinometro — e applicare le relazioni sui triangoli rettangoli.

Formula chiave — Triangolo rettangolo

Dato un triangolo rettangolo con ipotenusa $i$, cateto opposto $o$ e cateto adiacente $a$ rispetto all’angolo $\alpha$: $\sin\alpha = \frac{o}{i} \qquad \cos\alpha = \frac{a}{i} \qquad \tan\alpha = \frac{o}{a}$

La strategia è sempre la stessa: si individua un triangolo rettangolo in cui una grandezza incognita è un cateto (o l’ipotenusa), si misurano un lato accessibile e un angolo, e si ricava l’incognita invertendo la relazione trigonometrica opportuna. La tangente è particolarmente utile quando si conoscono i due cateti, perché lega direttamente l’angolo al loro rapporto senza bisogno dell’ipotenusa.

Contesto storico — Eratostene e la circonferenza della Terra

Nel 240 a.C. il greco Eratostene, bibliotecario di Alessandria d’Egitto, sapeva che a mezzogiorno del solstizio d’estate il Sole illuminava verticalmente il fondo di un pozzo a Syene (oggi Assuan), a sud di Alessandria. Nello stesso istante, ad Alessandria, un obelisco proiettava un’ombra corrispondente a un angolo di $7{,}2^\circ$ rispetto alla verticale.

Se la distanza Syene–Alessandria era di circa 5000 stadi, e la differenza di angolo valeva $7{,}2^\circ/360^\circ = 1/50$ del giro completo, allora la circonferenza della Terra doveva essere $50 \cdot 5000 = 250\,000$ stadi, ovvero circa $40\,000\;\text{km}$. Il valore corretto è $40\,075\;\text{km}$: una stima sorprendentemente precisa, ottenuta con i soli strumenti dell’antichità (Simonyi 2012, cap. 1; vedi Riferimenti bibliografici).

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Uso della trigonometria

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Il rubinetto che perde · Esercizio svolto — Area di un rettangolo misurato · Problema — Volume di un parallelepipedo

Many quantities cannot be measured directly: the height of the Eiffel Tower, the distance of a ship on the horizon, the angle of the Sun above the horizon. However, they can be calculated using trigonometry: it is enough to measure something easier — the shadow of an object, a distance on the ground, an angle with an inclinometer — and apply the relations for right-angled triangles.

Key formula — Right-angled triangle

Given a right-angled triangle with hypotenuse $i$, opposite side $o$ and adjacent side $a$ with respect to angle $\alpha$: $\sin\alpha = \frac{o}{i} \qquad \cos\alpha = \frac{a}{i} \qquad \tan\alpha = \frac{o}{a}$

The strategy is always the same: identify a right-angled triangle in which an unknown quantity is a side (or the hypotenuse), measure an accessible side and an angle, and obtain the unknown by inverting the appropriate trigonometric relation. The tangent is particularly useful when both sides are known, because it links the angle directly to their ratio without needing the hypotenuse.

Historical context — Eratosthenes and the circumference of the Earth

In 240 BC the Greek Eratosthenes, librarian of Alexandria in Egypt, knew that at noon on the summer solstice the Sun lit the bottom of a well vertically at Syene (today Aswan), south of Alexandria. At the same instant, in Alexandria, an obelisk cast a shadow corresponding to an angle of $7{,}2^\circ$ from the vertical.

If the distance Syene–Alexandria was about 5000 stadia, and the angle difference amounted to $7{,}2^\circ/360^\circ = 1/50$ of a full turn, then the circumference of the Earth had to be $50 \cdot 5000 = 250\,000$ stadia, i.e. about $40\,000\;\text{km}$. The correct value is $40\,075\;\text{km}$: a surprisingly precise estimate, obtained with the instruments of antiquity alone (Simonyi 2012, ch. 1; see Riferimenti bibliografici).

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Topics: Physical quantities and measurement Skills: Using trigonometry

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Alcune grandezze fisiche sono descritte da un numero e da un’unità. Altre, con un numero e un’unità, non sono ancora descritte: manca la direzione in cui agiscono. Le prime si chiamano scalari, le seconde vettoriali. Distinguerle è il primo gesto di un problema di meccanica, perché due scalari si sommano come i numeri della calcolatrice e due vettori no.

La massa di una mela è $0{,}15\;\text{kg}$ da qualunque lato la si guardi. La temperatura dell’aula è $20\;^\circ\text{C}$ senza una freccia. Il tempo di una lezione è $60\;\text{min}$. Queste sono grandezze scalari: per conoscerle basta il valore, con il segno quando la grandezza può essere negativa, come una temperatura sotto zero o la carica di un elettrone. L’energia, la densità, la carica elettrica, il volume sono scalari.

La velocità di quella mela, se la lancio, non è solo $8\;\text{m/s}$. Va verso l’alto, o verso il compagno, o di lato. Una forza di $10\;\text{N}$ può spingere il banco in avanti o tirarlo verso di me: il numero è lo stesso, l’effetto no. Posizione, spostamento, velocità, accelerazione e forza sono grandezze vettoriali. Lo sono anche la quantità di moto e il campo elettrico, che incontreremo più avanti. In questa pagina basta il primo elenco.

Scalare e vettore

Una grandezza scalare è fissata da un numero (con unità e, se serve, un segno).

Una grandezza vettoriale è fissata da tre elementi:

• il modulo, un numero non negativo che ne misura l’intensità;
• la direzione, la retta su cui giace;
• il verso, uno dei due orientamenti lungo quella retta.

Il vettore si indica con $\vec{v}$ o con $\vv{v}$; il modulo con $|\vec{v}|$ o con $v$.

Modulo, direzione e verso si disegnano con una freccia. La lunghezza della freccia, in una scala scelta (per esempio $1\;\text{cm}$ sul foglio uguale a $5\;\text{N}$), rappresenta il modulo. La retta della freccia è la direzione. La punta è il verso. Due frecce uguali e parallele, con la stessa punta, sono lo stesso vettore anche se partono da punti diversi del foglio: il vettore non è inchiodato a un punto, finché non si dice che lo si applica lì. Quando si parla di forze su un corpo esteso il punto di applicazione conta, e se ne riparla nell’equilibrio del corpo rigido.

Somma di due vettori, tre casi

Sommare due scalari è l’aritmetica. Sommare due vettori dipende dall’angolo fra le loro direzioni. In prima liceo bastano tre casi, che coprono quasi tutti gli esercizi prima della scomposizione in componenti.

Stessa direzione e stesso verso. I moduli si sommano. Due persone che spingono un armadio dallo stesso lato con $40\;\text{N}$ e $25\;\text{N}$ equivalgono a una sola spinta di $65\;\text{N}$ in quel verso. In simboli, se $\vec{a}$ e $\vec{b}$ sono paralleli e concordi,

$|\vec{a}+\vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|.$

Stessa direzione e versi opposti. I moduli si sottraggono e il verso è quello del maggiore. Una spinta di $40\;\text{N}$ e una di $25\;\text{N}$ dalle due parti opposte dell’armadio equivalgono a $15\;\text{N}$ nel verso della spinta più forte. Se i moduli sono uguali, la risultante è il vettore nullo: le due frecce si cancellano.

$|\vec{a}+\vec{b}| = \bigl||\vec{a}| - |\vec{b}|\bigr|.$

Direzioni perpendicolari. I due vettori sono i cateti di un triangolo rettangolo e la risultante è l’ipotenusa. Il modulo si trova con il teorema di Pitagora; l’angolo con la tangente. Se $\vec{a}$ sta sull’asse $x$ e $\vec{b}$ sull’asse $y$,

$\ev{|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2}} \qquad \tan\theta = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}.$

Il disegno è la regola punta-coda: si trasporta la coda del secondo vettore sulla punta del primo, e la risultante va dalla coda del primo alla punta del secondo. È equivalente alla regola del parallelogramma, in cui i due vettori partono dallo stesso punto e la risultante è la diagonale; qui, con due vettori perpendicolari, il parallelogramma è un rettangolo. L’ordine non conta. $\vec{a}+\vec{b} = \vec{b}+\vec{a}$.

Questi tre casi sono l’inizio. Quando l’angolo non è $0^\circ$, $180^\circ$ o $90^\circ$, conviene scomporre ogni vettore in componenti cartesiane, sommare le $x$ fra loro e le $y$ fra loro, e ricostruire modulo e angolo. Quel metodo, che vale per qualunque angolo e per più di due vettori, è nella sezione Vettori: operazioni e componenti. Questa pagina non lo riscrive: lo prepara.

Un avvertimento che evita metà degli errori. Il modulo di una somma non è la somma dei moduli, salvo il primo caso. $|\vec{a}+\vec{b}|$ può essere minore di $|\vec{a}|$ e di $|\vec{b}|$, se i due vettori si ostacolano. Due passi di $3\;\text{m}$ in versi opposti lasciano lo spostamento nullo, non $6\;\text{m}$.

Esercizi svolti

Esercizio 1 — Scalare o vettoriale?

Per ciascuna grandezza di’ se è scalare o vettoriale: la massa di uno zaino ($6{,}5\;\text{kg}$), il peso dello stesso zaino, la temperatura dell’acqua in una bottiglia, la velocità della bicicletta, il volume della bottiglia ($500\;\text{mL}$), la forza con cui si tira il freno.

La massa è uno scalare: $6{,}5\;\text{kg}$ la fissano. Il peso è la forza con cui la Terra attira lo zaino, diretta verso il basso: è un vettore. Con $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$ il modulo è $6{,}5\cdot 9{,}8 = 63{,}7\;\text{N}$, che a due cifre significative, come $6{,}5$, si scrive $64\;\text{N}$. La temperatura e il volume sono scalari. La velocità della bicicletta è un vettore: $5\;\text{m/s}$ verso scuola non è $5\;\text{m/s}$ verso casa. La forza sul freno è un vettore: conta quanto si stringe e in che verso agisce sulla leva.

Il confronto massa-peso è quello da tenere. Si confondono solo nel linguaggio comune, dove il «peso» si dà in chilogrammi. In fisica $m = 6{,}5\;\text{kg}$ e $\vec{P} = m\vec{g}$, con una direzione.

Esercizio 2 — Due forze sulla stessa retta

Su un carrello, lungo la stessa retta, agiscono una forza $\vec{F}_1$ di modulo $18{,}0\;\text{N}$ nel verso positivo e una forza $\vec{F}_2$ di modulo $7{,}5\;\text{N}$ nel verso opposto. Qual è la risultante?

I versi sono opposti, quindi i moduli si sottraggono. Il verso della risultante è quello di $\vec{F}_1$, perché $18{,}0 > 7{,}5$: $\ev{|\vec{F}_1 + \vec{F}_2| = 18{,}0 - 7{,}5 = 10{,}5\;\text{N}.}$ Entrambe le forze, $18{,}0$ e $7{,}5\;\text{N}$, sono note al decimo di newton (una cifra decimale), quindi anche la differenza $10{,}5\;\text{N}$ si scrive con una cifra decimale. In una somma o in una differenza contano le cifre decimali dei dati; in un prodotto, come nell’esercizio 1, contano le cifre significative. Se le due forze avessero avuto lo stesso verso, la risultante sarebbe stata $18{,}0 + 7{,}5 = 25{,}5\;\text{N}$ nello stesso verso. Il numero da solo, senza il verso, non è la risposta.

Esercizio 3 — Due spostamenti perpendicolari

Per andare in biblioteca uno studente cammina $80\;\text{m}$ verso est e poi $60\;\text{m}$ verso nord. Qual è il modulo dello spostamento risultante, e che angolo forma con la direzione est?

I due spostamenti sono perpendicolari. Il modulo della risultante è l’ipotenusa: $|\Delta \vec{r}| = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\;\text{m}.$ È una terna pitagorica, $3$-$4$-$5$ moltiplicata per $20$: il risultato è esatto. L’angolo $\theta$ fra la risultante e la direzione est soddisfa $\tan\theta = \frac{60}{80} = 0{,}75, \qquad \ev{\theta = \arctan 0{,}75 = 37^\circ}$ all’intero grado: la calcolatrice dà $36{,}87^\circ$, e con dati a due cifre come $60$ e $80$ si arrotonda a $37^\circ$. La strada percorsa è $80 + 60 = 140\;\text{m}$; lo spostamento è $100\;\text{m}$. Sono due domande diverse, e il testo chiedeva la seconda.

Per un angolo qualunque, o per un terzo spostamento, si passa alle componenti: è il passo successivo, nella pagina sui vettori.

Errori tipici

• Sommare i moduli e chiamare il risultato «risultante». Si può fare solo se i vettori sono paralleli e concordi. In ogni altro caso il modulo della somma è minore della somma dei moduli.
• Dimenticare il verso. $10{,}5\;\text{N}$ non è una forza finché non si dice da che parte punta. Nei problemi sulla retta basta «verso positivo» o «verso di $\vec{F}_1$».
• Confondere direzione e verso. La direzione è la retta (orizzontale, verticale, la retta della fune). Il verso è quale dei due sensi si percorre su quella retta. Due forze sulla stessa direzione possono avere versi opposti.
• Trattare la velocità scalare media come un vettore, o il contrario. La strada percorsa divisa per il tempo è uno scalare positivo. Lo spostamento diviso per il tempo è un vettore. Nell’esercizio 3 i due numeri sono $140/t$ e $100/t$, e non sono intercambiabili.
• Applicare Pitagora a vettori che non sono perpendicolari. Se l’angolo è $60^\circ$ o $120^\circ$, $\sqrt{a^2+b^2}$ è il modulo sbagliato. Si torna al disegno, o si usano le componenti.

Collegamenti

Argomenti: Vettori · Grandezze fisiche e misura Concetti: Grandezze scalari e vettoriali · Componenti di un vettore

Vedi anche: Vettori: operazioni e componenti · La forza come vettore · Problema — Risultante di due forze

Some physical quantities are described by a number and a unit. Others, with a number and a unit, are not yet described: the direction in which they act is missing. The first are called scalars, the second vectors. Telling them apart is the first move in a mechanics problem, because two scalars add like the numbers on a calculator and two vectors do not.

The mass of an apple is $0{,}15\;\text{kg}$ from whichever side one looks at it. The temperature of the classroom is $20\;^\circ\text{C}$ with no arrow. The duration of a lesson is $60\;\text{min}$. These are scalar quantities: to know them the value is enough, with a sign when the quantity can be negative, like a temperature below zero or the charge of an electron. Energy, density, electric charge and volume are scalars.

The velocity of that apple, if I throw it, is not just $8\;\text{m/s}$. It goes upwards, or towards a classmate, or sideways. A force of $10\;\text{N}$ can push the desk forwards or pull it towards me: the number is the same, the effect is not. Position, displacement, velocity, acceleration and force are vector quantities. So are momentum and the electric field, which we will meet later. On this page the first list is enough.

Scalar and vector

A scalar quantity is fixed by a number (with a unit and, if needed, a sign).

A vector quantity is fixed by three elements:

• the magnitude, a non-negative number that measures its intensity;
• the direction, the line on which it lies;
• the sense, one of the two orientations along that line.

The vector is written $\vec{v}$ or $\vv{v}$; the magnitude is written $|\vec{v}|$ or $v$.

Magnitude, direction and sense are drawn with an arrow. The length of the arrow, on a chosen scale (for example $1\;\text{cm}$ on the page equal to $5\;\text{N}$), represents the magnitude. The line of the arrow is the direction. The tip is the sense. Two equal, parallel arrows, with the same tip, are the same vector even if they start from different points on the page: the vector is not nailed to a point, until one says that it is applied there. When one speaks of forces on an extended body the point of application matters, and it is taken up again in the equilibrium of a rigid body.

Sum of two vectors, three cases

Adding two scalars is arithmetic. Adding two vectors depends on the angle between their directions. In the first year three cases are enough, and they cover almost every exercise before decomposition into components.

Same direction and same sense. The magnitudes add. Two people pushing a wardrobe from the same side with $40\;\text{N}$ and $25\;\text{N}$ are equivalent to a single push of $65\;\text{N}$ in that sense. In symbols, if $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are parallel and in the same sense,

$|\vec{a}+\vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|.$

Same direction and opposite senses. The magnitudes subtract and the sense is that of the larger one. A push of $40\;\text{N}$ and one of $25\;\text{N}$ from the two opposite sides of the wardrobe are equivalent to $15\;\text{N}$ in the sense of the stronger push. If the magnitudes are equal, the resultant is the zero vector: the two arrows cancel.

$|\vec{a}+\vec{b}| = \bigl||\vec{a}| - |\vec{b}|\bigr|.$

Perpendicular directions. The two vectors are the legs of a right triangle and the resultant is the hypotenuse. The magnitude is found with Pythagoras’ theorem; the angle with the tangent. If $\vec{a}$ lies on the $x$ axis and $\vec{b}$ on the $y$ axis,

$\ev{|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2}} \qquad \tan\theta = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}.$

The drawing is the tip-to-tail rule: one carries the tail of the second vector onto the tip of the first, and the resultant runs from the tail of the first to the tip of the second. It is equivalent to the parallelogram rule, in which the two vectors start from the same point and the resultant is the diagonal; here, with two perpendicular vectors, the parallelogram is a rectangle. The order does not matter. $\vec{a}+\vec{b} = \vec{b}+\vec{a}$.

These three cases are the beginning. When the angle is not $0^\circ$, $180^\circ$ or $90^\circ$, it is better to decompose each vector into Cartesian components, add the $x$ components together and the $y$ components together, and rebuild magnitude and angle. That method, which works for any angle and for more than two vectors, is in the section Vectors: operations and components. This page does not rewrite it: it prepares it.

A warning that avoids half the mistakes. The magnitude of a sum is not the sum of the magnitudes, except in the first case. $|\vec{a}+\vec{b}|$ can be smaller than both $|\vec{a}|$ and $|\vec{b}|$, if the two vectors oppose each other. Two steps of $3\;\text{m}$ in opposite senses leave a displacement of zero, not $6\;\text{m}$.

Worked exercises

Exercise 1 — Scalar or vector?

For each quantity say whether it is scalar or vector: the mass of a rucksack ($6{,}5\;\text{kg}$), the weight of the same rucksack, the temperature of the water in a bottle, the velocity of the bicycle, the volume of the bottle ($500\;\text{mL}$), the force with which the brake is pulled.

Mass is a scalar: $6{,}5\;\text{kg}$ fixes it. Weight is the force with which the Earth attracts the rucksack, directed downwards: it is a vector. With $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$ the magnitude is $6{,}5\cdot 9{,}8 = 63{,}7\;\text{N}$, which to two significant figures, as in $6{,}5$, is written $64\;\text{N}$. Temperature and volume are scalars. The velocity of the bicycle is a vector: $5\;\text{m/s}$ towards school is not $5\;\text{m/s}$ towards home. The force on the brake is a vector: it matters how hard one squeezes and in which sense it acts on the lever.

The mass-weight comparison is the one to keep. They are confused only in everyday language, where “weight” is given in kilograms. In physics $m = 6{,}5\;\text{kg}$ and $\vec{P} = m\vec{g}$, with a direction.

Exercise 2 — Two forces on the same line

On a trolley, along the same line, a force $\vec{F}_1$ of magnitude $18{,}0\;\text{N}$ acts in the positive sense and a force $\vec{F}_2$ of magnitude $7{,}5\;\text{N}$ acts in the opposite sense. What is the resultant?

The senses are opposite, so the magnitudes subtract. The sense of the resultant is that of $\vec{F}_1$, because $18{,}0 > 7{,}5$: $\ev{|\vec{F}_1 + \vec{F}_2| = 18{,}0 - 7{,}5 = 10{,}5\;\text{N}.}$ Both forces, $18{,}0$ and $7{,}5\;\text{N}$, are known to a tenth of a newton (one decimal place), so the difference $10{,}5\;\text{N}$ is also written with one decimal place. In a sum or a difference what counts is the decimal places of the data; in a product, as in exercise 1, what counts is the significant figures. If the two forces had had the same sense, the resultant would have been $18{,}0 + 7{,}5 = 25{,}5\;\text{N}$ in that sense. The number alone, without the sense, is not the answer.

Exercise 3 — Two perpendicular displacements

To reach the library a student walks $80\;\text{m}$ east and then $60\;\text{m}$ north. What is the magnitude of the resulting displacement, and what angle does it make with the eastward direction?

The two displacements are perpendicular. The magnitude of the resultant is the hypotenuse: $|\Delta \vec{r}| = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\;\text{m}.$ It is a Pythagorean triple, $3$-$4$-$5$ multiplied by $20$: the result is exact. The angle $\theta$ between the resultant and the eastward direction satisfies $\tan\theta = \frac{60}{80} = 0{,}75, \qquad \ev{\theta = \arctan 0{,}75 = 37^\circ}$ to the nearest degree: the calculator gives $36{,}87^\circ$, and with two-figure data such as $60$ and $80$ it is rounded to $37^\circ$. The distance walked is $80 + 60 = 140\;\text{m}$; the displacement is $100\;\text{m}$. They are two different questions, and the text asked for the second.

For an arbitrary angle, or for a third displacement, one moves to components: that is the next step, on the page on vectors.

Typical mistakes

• Adding the magnitudes and calling the result the “resultant”. This is allowed only if the vectors are parallel and in the same sense. In every other case the magnitude of the sum is smaller than the sum of the magnitudes.
• Forgetting the sense. $10{,}5\;\text{N}$ is not a force until one says which way it points. In problems on a line, “positive sense” or “the sense of $\vec{F}_1$” is enough.
• Confusing direction and sense. Direction is the line (horizontal, vertical, the line of the rope). Sense is which of the two ways one travels along that line. Two forces on the same direction can have opposite senses.
• Treating average speed as a vector, or the reverse. Distance travelled divided by time is a positive scalar. Displacement divided by time is a vector. In exercise 3 the two numbers are $140/t$ and $100/t$, and they are not interchangeable.
• Applying Pythagoras to vectors that are not perpendicular. If the angle is $60^\circ$ or $120^\circ$, $\sqrt{a^2+b^2}$ is the wrong magnitude. One goes back to the drawing, or one uses components.

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Topics: Vectors · Physical quantities and measurement Concepts: Scalar and vector quantities · Vector components

See also: Vectors: operations and components · Force as a vector · Problem — Resultant of two forces

Molte grandezze fisiche — posizione, velocità, accelerazione, forza — non sono semplici numeri, ma possiedono anche una direzione: sono vettori. Un vettore $\vec{v}$ è caratterizzato da tre elementi:

• modulo $|\vec{v}|$, un numero positivo che ne misura l’intensità;
• direzione, la retta su cui giace;
• verso, uno dei due orientamenti possibili lungo quella retta.

Nel piano, un vettore si rappresenta comodamente come coppia di componenti cartesiane $\vec{v} = (v_x,\, v_y)$, cioè le proiezioni del vettore lungo gli assi $x$ e $y$. Componenti e modulo-direzione-verso sono due descrizioni equivalenti dello stesso oggetto: si passa dall’una all’altra con la trigonometria.

Formula chiave — Modulo e componenti

Dato l’angolo $\theta$ che il vettore forma con l’asse $x$: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \qquad v_x = |\vec{v}|\cos\theta \qquad v_y = |\vec{v}|\sin\theta \qquad \theta = \arctan\!\frac{v_y}{v_x}$

Il grande vantaggio delle componenti è che le operazioni tra vettori si eseguono componente per componente, riducendosi a semplici operazioni tra numeri:

• Somma: $(a_x,\, a_y) + (b_x,\, b_y) = (a_x + b_x,\; a_y + b_y)$
• Moltiplicazione per uno scalare: $k\,(v_x,\, v_y) = (k v_x,\; k v_y)$
• Opposto: $-\vec{v} = (-v_x,\; -v_y)$

In pratica, per sommare due vettori conviene quasi sempre scomporli nelle loro componenti, sommare separatamente le $x$ e le $y$, e ricomporre il risultato in modulo e direzione con le formule chiave. Questo metodo — detto delle componenti cartesiane — evita di ragionare graficamente con la regola del parallelogramma e si presta bene ai calcoli, specie quando i vettori in gioco sono più di due.

▶8.01x Lez. 3 — Vettori, prodotti scalare e vettoriale — Walter Lewin

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Argomenti: Vettori Concetti: Componenti di un vettore Competenze: Scomposizione vettoriale Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Itinerario Imola-Lugo · Problema — Vero o falso sui vettori · Problema — Risultante di due forze

Many physical quantities — position, velocity, acceleration, force — are not simple numbers, but also possess a direction: they are vectors. A vector $\vec{v}$ is characterised by three elements:

• magnitude $|\vec{v}|$, a positive number measuring its intensity;
• direction, the line along which it lies;
• sense, one of the two possible orientations along that line.

In the plane, a vector is conveniently represented as a pair of Cartesian components $\vec{v} = (v_x,\, v_y)$, i.e. the projections of the vector along the $x$ and $y$ axes. Components and magnitude-direction-sense are two equivalent descriptions of the same object: one passes from one to the other using trigonometry.

Key formula — Magnitude and components

Given the angle $\theta$ the vector forms with the $x$ axis: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \qquad v_x = |\vec{v}|\cos\theta \qquad v_y = |\vec{v}|\sin\theta \qquad \theta = \arctan\!\frac{v_y}{v_x}$

The great advantage of components is that operations between vectors are carried out component by component, reducing to simple operations between numbers:

• Sum: $(a_x,\, a_y) + (b_x,\, b_y) = (a_x + b_x,\; a_y + b_y)$
• Multiplication by a scalar: $k\,(v_x,\, v_y) = (k v_x,\; k v_y)$
• Opposite: $-\vec{v} = (-v_x,\; -v_y)$

In practice, to add two vectors it is almost always convenient to break them into their components, add the $x$‘s and $y$‘s separately, and recompose the result into magnitude and direction using the key formulae. This method — called the Cartesian components method — avoids graphical reasoning with the parallelogram rule and lends itself well to calculation, especially when more than two vectors are involved.

▶8.01x Lect 3 — Vectors, Dot and Cross Products — Walter Lewin

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Topics: Vectors Concepts: Vector components Skills: Vector decomposition Methods: Decomposition into Cartesian components

Related exercises: Worked Exercise — Imola-Lugo Route · Problem — True or false on vectors · Problem — Resultant of two forces

Un oggetto immerso in un fluido, che sia un liquido o un gas, riceve una spinta verso l’alto detta spinta di Archimede, pari al peso del fluido che il corpo sposta occupandone il posto. È questa spinta a spiegare un fatto all’apparenza paradossale: una nave d’acciaio galleggia, mentre una moneta fatta dello stesso metallo affonda. Ciò che conta non è il materiale in sé, ma quanto fluido il corpo riesce a spostare rispetto al proprio peso.

L’origine della spinta è la stessa pressione idrostatica che cresce con la profondità. Le pareti inferiori di un corpo immerso si trovano più in basso di quelle superiori e sopportano quindi una pressione maggiore: la risultante di tutte queste forze premute sulla superficie del corpo è diretta verso l’alto, e il calcolo mostra che il suo modulo coincide esattamente con il peso del fluido spostato.

Legge — Principio di Archimede

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto, opposta al peso, di modulo $\ev{|\vec{F}_A| = \rho_{\text{fluido}}\cdot V_{\text{immerso}}\cdot g = m_{\text{spostato}}\cdot g}$ dove $\rho_{\text{fluido}}$ è la densità del fluido, $V_{\text{immerso}}$ il volume di fluido spostato e $m_{\text{spostato}}$ la sua massa.

Il confronto tra la spinta e il peso del corpo decide il destino dell’oggetto. Se il corpo è più denso del fluido, il suo peso vince e affonda; se è meno denso, la spinta prevale e il corpo risale fino a galleggiare, immergendosi solo per la frazione di volume necessaria a spostare un peso di fluido pari al proprio. Poiché anche l’aria è un fluido, la spinta di Archimede agisce su tutti noi mentre camminiamo nell’atmosfera: è però piccolissima, perché la densità dell’aria è circa mille volte inferiore a quella dell’acqua, e per questo di solito la trascuriamo.

Contesto storico — Archimede e l'"Eureka!"

Secondo la leggenda, Archimede (287–212 a.C.) scoprì il suo principio mentre faceva il bagno: immergendosi nella vasca notò che il livello dell’acqua si alzava. Si alzò di scatto e corse nudo per le strade di Siracusa gridando Eureka! (“l’ho trovato!”). Il tiranno di Siracusa gli aveva chiesto di determinare se una corona fosse d’oro puro oppure di una lega con argento, e Archimede aveva capito come farlo: confrontando il volume di fluido spostato dalla corona con quello spostato da un uguale peso d’oro puro, avrebbe smascherato l’eventuale frode.

▶8.01x Lez. 28 — Archimede e Bernoulli — Walter Lewin

▶Quiz sulla spinta di Archimede — Veritasium

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Argomenti: Fluidostatica e fluidodinamica Concetti: Principio di Archimede · Pressione

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Pressa per la frutta · Esercizio svolto — Pressione del cuore · Esercizio svolto — Un pezzo di legno in acqua con benzina

An object immersed in a fluid, whether a liquid or a gas, receives an upward push called Archimedes’ thrust, equal to the weight of the fluid the body displaces by taking its place. This thrust explains an apparently paradoxical fact: a steel ship floats, while a coin made of the same metal sinks. What matters is not the material itself, but how much fluid the body manages to displace relative to its own weight.

The origin of the thrust is the same hydrostatic pressure that grows with depth. The lower walls of an immersed body lie deeper than the upper ones and therefore experience greater pressure: the resultant of all these forces pressing on the body’s surface is directed upward, and the calculation shows that its magnitude exactly matches the weight of the displaced fluid.

Law — Archimedes' principle

A body immersed in a fluid receives an upward thrust, opposite to its weight, of magnitude $\ev{|\vec{F}_A| = \rho_{\text{fluido}}\cdot V_{\text{immerso}}\cdot g = m_{\text{spostato}}\cdot g}$ where $\rho_{\text{fluido}}$ is the fluid density, $V_{\text{immerso}}$ the volume of fluid displaced and $m_{\text{spostato}}$ its mass.

The comparison between the thrust and the weight of the body decides its fate. If the body is denser than the fluid, its weight wins and it sinks; if it is less dense, the thrust prevails and the body rises until it floats, submerging only for the fraction of its volume needed to displace a weight of fluid equal to its own. Since air is also a fluid, Archimedes’ thrust acts on all of us as we walk through the atmosphere: it is, however, very small, because the density of air is about a thousand times lower than that of water, and for this reason we usually neglect it.

Historical context — Archimedes and "Eureka!"

According to legend, Archimedes (287–212 BC) discovered his principle while taking a bath: as he lowered himself into the tub, he noticed the water level rising. He leapt up and ran naked through the streets of Syracuse shouting Eureka! (“I have found it!”). The tyrant of Syracuse had asked him to determine whether a crown was pure gold or a gold-silver alloy, and Archimedes had worked out how: by comparing the volume of fluid displaced by the crown with that displaced by an equal weight of pure gold, he could expose any fraud.

▶8.01x Lect 28 — Archimedes and Bernoulli — Walter Lewin

▶Buoyancy Quiz — Veritasium

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Topics: Fluid statics and fluid dynamics Concepts: Archimedes’ principle · Pressure

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Che cosa vuol dire misurare?

Ci sembra ovvio che “misurare” voglia dire confrontare una quantità con un campione. Ma sotto quell’apparente ovvietà si nasconde una scelta molto forte.

Decidere di misurare una grandezza significa prima di tutto decidere che essa è degna di essere misurata, e altre no. Per millenni la temperatura non lo è stata: si diceva “caldo” e “freddo” senza numeri, affidandosi alla sola sensazione. Lo è diventata soltanto quando Galileo e Fahrenheit hanno legato la sensazione termica a un fenomeno misurabile: la dilatazione di un liquido dentro un tubicino graduato. Prima di quel gesto la temperatura non era una grandezza fisica; dopo, lo è diventata.

Da qui il punto più profondo: c’è grandezza solo se c’è una procedura di misura. Non basta avere un’idea intuitiva di una qualità del mondo; occorre un metodo concreto, ripetibile, che traduca quella qualità in un numero. È uno degli insegnamenti più profondi di tutta la fisica moderna, e vale ben oltre la termologia. Quando nei capitoli seguenti introdurremo l’energia, l’entropia, il campo, dovremo ogni volta chiederci quale “tubicino” — quale procedura sperimentale — permette di passare dalla sensazione al numero. Senza quella procedura, la grandezza semplicemente non esiste.

▶PSSC — Tempo e orologi — PSSC

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura

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Problem

It seems obvious that “measuring” means comparing a quantity with a reference sample. But beneath that apparent obviousness lies a very strong choice.

Deciding to measure a quantity means, first of all, deciding that it is worthy of being measured, and others are not. For millennia temperature was not: people said “hot” and “cold” without numbers, relying only on sensation. It became one only when Galileo and Fahrenheit linked thermal sensation to a measurable phenomenon: the expansion of a liquid inside a graduated tube. Before that step temperature was not a physical quantity; afterwards, it became one.

Hence the deeper point: a quantity exists only if there is a measurement procedure. It is not enough to have an intuitive idea of a quality of the world; a concrete, repeatable method is needed, one that translates that quality into a number. This is one of the deepest lessons of all modern physics, and it holds well beyond thermology. When in the following chapters we introduce energy, entropy, the field, we will each time have to ask ourselves which “little tube” — which experimental procedure — allows us to pass from sensation to number. Without that procedure, the quantity simply does not exist.

▶PSSC — Time and Clocks — PSSC

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Topics: Physical quantities and measurement

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