Vero o falso su energia e orbite

Testo

Vero o falso? Motiva brevemente. (a) l’energia potenziale gravitazionale $U = -GMm/r$ è sempre negativa se si pone $U(\infty) = 0$; (b) la velocità di fuga da un pianeta dipende dalla massa dell’oggetto che fugge; (c) un’orbita ellittica ha energia meccanica totale negativa; (d) la seconda legge di Keplero equivale alla conservazione del momento angolare del pianeta.

Soluzione

$\ev{(a)\ \text{V} \quad (b)\ \text{F} \quad (c)\ \text{V} \quad (d)\ \text{V}}$

(a) Vero. Con la convenzione $U(\infty)=0$ si ha $U(r) = -GMm/r$. Poiché $G$, $M$, $m$, $r$ sono tutti positivi, la frazione è positiva e il segno meno rende $U<0$ per ogni $r$ finito. $U$ cresce (avvicinandosi a zero) man mano che ci si allontana.

(b) Falso. Dalla conservazione dell’energia $v_f = \sqrt{2GM/R}$: dipende solo dalla massa $M$ e dal raggio $R$ del pianeta, non dalla massa dell’oggetto che fugge (che si semplifica). Un sasso e un razzo hanno la stessa velocità di fuga.

(c) Vero. Un’orbita ellittica è legata (chiusa): l’oggetto non può allontanarsi all’infinito. Questo corrisponde a energia meccanica totale $E_\text{tot}<0$. Se $E_\text{tot}=0$ l’orbita è parabolica, se $E_\text{tot}>0$ iperbolica: in entrambi i casi non legata.

(d) Vero. La forza gravitazionale è centrale (diretta lungo la congiungente pianeta-stella): il suo momento rispetto alla stella è nullo, quindi $\vec L$ si conserva. Conservazione di $\vec L$ significa che il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali: è esattamente la seconda legge di Keplero.

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Argomenti: Gravitazione Concetti: Energia potenziale gravitazionale universale · Velocità di fuga · Orbite · Conservazione dell’energia meccanica · Conservazione del momento angolare · Leggi di Keplero