Esercizio svolto — decadimento del radon in cantina

Testo

Il radon $^{222}\text{Rn}$ ha tempo di dimezzamento $\tau_{1/2} = 3{,}82$ giorni. Una cantina sigillata contiene inizialmente $N_0 = 10^{10}$ atomi di radon. Quanti atomi restano dopo $20$ giorni? Qual è l’attività iniziale del campione?

Soluzione

Costante di decadimento. La costante di decadimento si ricava dal tempo di dimezzamento:

$\lambda = \frac{\ln 2}{\tau_{1/2}} = \frac{0{,}693}{3{,}82\ \text{giorni}} \approx 0{,}181\ \text{giorni}^{-1}$

Numero di atomi dopo 20 giorni. La legge del decadimento esponenziale dà:

$N = N_0\,e^{-\lambda t} = 10^{10}\cdot e^{-0{,}181\cdot 20} = 10^{10}\cdot e^{-3{,}63} \approx \ev{N \approx 2{,}7\cdot 10^{8}\ \text{atomi}}$

In venti giorni (poco più di cinque tempi di dimezzamento) il radon si riduce a meno del $3\%$ del valore iniziale.

Attività iniziale. L’attività è $A_0 = \lambda N_0$. Per ottenere un risultato in becquerel (decadimenti al secondo) va convertita $\lambda$ in $\text{s}^{-1}$:

$\lambda = \frac{0{,}181}{86400\ \text{s}} \approx 2{,}09\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}$

$A_0 = \lambda N_0 = 2{,}09\cdot 10^{-6}\cdot 10^{10} \approx \ev{A_0 \approx 2{,}1\cdot 10^{4}\ \text{Bq}}$

Cioè circa ventimila decadimenti al secondo.

Perché conta $200\ \text{Bq/m}^3$). Il radon è un gas radioattivo che si accumula negli ambienti chiusi e mal ventilati: conviene arieggiare spesso cantine e locali interrati, soprattutto in zone con sottosuolo granitico, dove l'emissione naturale è maggiore.

Il valore è ben sopra il limite raccomandato per le abitazioni (

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Argomenti: Fisica nucleare Concetti: Decadimento radioattivo Competenze: Uso delle scale logaritmiche