Dalla legge fenomenologica all'esponenziale

Testo

A partire dalla legge fenomenologica $\Delta N = -\lambda N\,\Delta t$, deriva la legge del decadimento $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ e mostra il legame tra la costante $\lambda$ e il tempo di dimezzamento $T_{1/2}$. Discuti infine perché il decadimento è un fenomeno statistico e non deterministico per il singolo nucleo.

Soluzione

Dalla legge fenomenologica all’equazione differenziale. La relazione $\Delta N = -\lambda N\,\Delta t$ dice che il numero di nuclei che decadono in un intervallo è proporzionale al numero di nuclei presenti e alla durata dell’intervallo. Passando al limite $\Delta t \to 0$ si ottiene un’equazione differenziale:

$\ddt{N} = -\lambda N$

Separazione delle variabili. Portiamo tutto ciò che riguarda $N$ da un lato e il tempo dall’altro:

$\frac{\dd N}{N} = -\lambda\,\dd t$

Integrazione. Integrando entrambi i membri:

$\ln N = -\lambda t + \text{cost.} \quad\Longrightarrow\quad N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$

dove $N_0$ è il numero di nuclei all’istante $t = 0$.

Legame con il tempo di dimezzamento. Per definizione, dopo un tempo $T_{1/2}$ il numero di nuclei si dimezza: $N(T_{1/2}) = N_0/2$. Quindi:

$\frac{N_0}{2} = N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda T_{1/2} = \ln 2$

$\ev{N(t) = N_0\,e^{-\lambda t},\quad \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}}$

Perché è un fenomeno statistico. L’equazione descrive con precisione l’andamento di un numero enorme di nuclei, ma non dice nulla sul singolo. Ogni nucleo decade in un istante governato dalle leggi quantistiche, del tutto casuale: non esiste alcuna causa interna o esterna che “programmi” il momento del decadimento, e due nuclei identici possono decadere a distanza di secoli l’uno dall’altro. La regolarità dell’esponenziale emerge solo su grandi numeri, come conseguenza della legge dei grandi numeri: la probabilità di decadere nell’unità di tempo, $\lambda$, è la stessa per tutti, e mediando su miliardi di nuclei le fluttuazioni individuali si cancellano.

Collegamenti

Argomenti: Fisica nucleare Concetti: Decadimento radioattivo Metodi: Separazione delle variabili